15. Скалярний і векторний добуток. Властивості векторного добутку.

Скалярним добутком двох векторів a и b буде скалярна величина, яка дорівнює добутку модулів цих векторів помноженому на косинус кута між ними.

Властивість. Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні.

Векторний добуток двох векторів a = {x1; y1; z1} і b = {x2; y2; z2} в декартовій системі координат - це вектор значення якого можна знайти за наступними формулами:

a × b = i j k = i(y1z2 - z1y2) - j(x1z2 - z1x2) + k(x1y2 - y1x2)

x1 y1 z1

x2 y2 z2

або

a × b = {y1 z2 - z1 y2; z1 x2 - x1 z2; x1 y2 - y1 x2}

Властивість 1. Модуль векторного добутку двох векторів a і b дорівнює площині паралелограма побудованого на цих векторах.

Властивість 2. Якщо векторний добуток двох векторів a и b дорівнює нулю то вектори колінеарні.

16. Мішаний добуток. Властивості мішаного добутку.

Мішаний добуток векторів — це скалярний добуток вектора a на векторний добуток векторів b і c.

Мішаний добуток векторів дорівнює визначнику матриці, побудованої з цих векторів.

Властивість 1. Модуль мішаного добутку трьох векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда, утвореного цими векторами.

Властивість 2. a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]

Властивість 3. Якщо мішаний добуток трьох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори компланарні.

17. Векторний простір, його розмірність і базис. Розклад вектора за базисом. Лінійно залежні і лінійно незалежні системи векторів.

Упорядкована множина n дійсних чисел а1, а2, а3,….аn називається n – вимірним векторним простором Rn.

Максимальне число лінійно незалежних векторів простору називається його розмірністю.

Базисом n- вимірного векторного простору Rn називається будь яка сукупність n лінійно незалежних векторів, через які лінійно виражається довільний вектор цього простору.

Алгоритм розкладу вектора за базисом

1. Записати рівність  у матричній формі. Вектори   подати у вигляді матриць-стовпців.

2. Матричне рівняння записати у вигляді системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Розв'язати одержану систему.

3. Записати розклад вектора   за базисом  .

Для цього в рівність

замість   підставити розв'язки системи рівнянь

1) Вектори   називаються лінійно залежними, якщо знайдуться такі дійсні числа  , одночасно не рівні нулю, при яких справджується рівність

2) Якщо рівність

виконується лише за умови, що

то вектори називаються лінійно незалежними.

18. Рівняння лінії на площині. Вивести канонічне та параметричне рівняння прямої

19. Вивести рівняння прямої, що проходить через дві точки і рівняння прямої у відрізках на осях.

Відомі координати двох точок на прямій L: M1(x1;y1) та M2(x2;y2). Складаємо рівняння прямої L. Вектор M1M2 належить прямій L, отже це напрямний вектор прямої L. Якщо у канонічне рівняння прямої замість координат точки Мо(хо:уо) підставити координати точки M1(x1;y1), а замість координат напрямного вектора l(m;k) підставити координати іншого напрямного вектора прямої – вектора М1М2, то одержимо рівняння прямої за двома точками:

Відомо, що пряма L відсікає на осях координат відрізки а і b. Складемо рівняння цієї прямої. Точки перетину прямої L з осями координат: М1(а;0), М2(0;b). Використаємо рівняння прямої за двома точками і одержимо: , , , - рівняння прямої у відрізках на осях, де а – довжига відрізка а осі Ох, b – на осі Оу.