145.Диференціальні рівняння другого порядку. Основні поняття.
Означення. Якщо диференціальне рівняння містить похідну або диференціал другого порядку, то його називають диференціальним рівнянням другого порядку.
Загальний вигляд такого рівняння F(x,y,y’,y’’)=0, де y=f(x) – шукана невідома функція y’=f’(x) і y”=f”(x) – її похідні по змінній х першого та другого порядків, F – задана залежність між x,y,y’,y’’.
Означення. Загальним розв’язком диференціального рівняння другого порядку називають функцію y=φ(x,С1,С2) від х та двох довільних сталих С1,С2 ,яка перетворює це рівняння в тотожність. Загальний розв’язок,який одержимо в неявному вигляді Ф(x,С1,С2)=0, називають загальним інтегралом.
Означення. Частинним розв’язком для диференціального рівняння другого порядку називають розв’язок, який отримано із загального розв’язку при фіксованому значенні сталих С1,С2 : y=φ(x,С10,С20),де С10,С20 – фіксовані числа (аналогічно частинний інтеграл Ф(x, С10,С20)=0).
146. Диференціальні рівняння другого порядку,що допускають пониження порядку.
У деяких випадках диференціальне рівняння другого порядку може бути зведено до послідовного розв’язання двох рівнянь першого порядку.
Розглянемо деякі типи таких диференціальних рівнянь другого порядку.
1)Рівняння виду y”=f(x). Загальний розв’язок таких рівнянь знаходять послідовним інтегруванням:
y’=∫f(x)dx+C1, y=∫(∫f(x)dx+C1)dx+C2.
2)Якщо до диференціального рівняння не входить явно невідома функція у, то рівняння має вид F(x,y’,y”)=0 або F(y’,y”)=0. У цьому випадку заміною y’=p(x), y’’=p’(x), де p(x) – нова невідома функція, рівняння зводиться до диференціального рівняння першого порядку відносно цієї функції p(x), тобто F(x,р,р’)=0 або F(р,р’)=0.
3)Якщо до рівняння не входить незалежна змінна х, то воно має вид F(y,y’,y’’)=0 або F(y’,y’’)=0. Тоді заміною y’=p(у), y’’=(dp/dy)*p=p’*p, де p=p(y) – нова шукана функція, у – незалежна змінна, задане рівняння пертворюється на рівняння першого порядку відносно нової шуканої функції p=p(y), а саме F(у,р,р’)=0.
147.Рівняння Бернулі.
Означення. Рівнянням Бернуллі називається нелійне рівняння першого порядку виду:
y’+p(x)*y=g(x)*уn,де n≠0,n≠1.
При n=0 – рівняння лінійне.
При n=1 – з відокремлюваними змінними.
Нехай у≠0, n≠0, n≠1,поділимо рівняння Бернуллі на уn,тоді матимемо рівняння y’/уn+(p(x)/уn)*y=g(x) остаточно у-ny’+p(x)y1-n=g(x).Таким чином заміною z=y1-n, a z’= (y1-n)’=(1-n)*y-ny’ рівняння Бернуллі зводиться до лінійного рівняння.
148.Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
Означення.Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами називають рівняння виду y”+p*y’+q*y=0, де p,q – сталі величини.
О
значення.Визначник
W(x)=
y1
y2 називають
визначником Вронського або
y’1 y’2
вронсіаном розв’язків y1= y1(х) і y2= y2(х).
Означення.Два частинних розв’язки y1(х) та y2(х) рівняння y”+p*y’+q*y=0 утворюють фундаментальну систему розв’язків,якщо для довільного х визначник цих функцій не дорівнює нулю W(x)≠0.
Означення.Рівняння k2+pk+q=0 називається характеристичним рівнянням лінійного однорідного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами y”+p*y’+q*y=0.
Три випадки:
1)Корені характеристичного рівняння дійсні і різні k1≠k2 : y1=еk1х; y2=еk2х – частинні розв’язки, у=C1еk1х + C2 еk2х – загальний розв’язок.
2) Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні k1=k2 : y1=еk1х; y2=х*еk1х – частинні розв’язки, у=еk1х (C1+х*C2) – загальний розв’язок.
3) Корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені a±bi : y1=еaхcos(bx); y2=еaхsin(bx) – частинні розв’язки, у=еaх (C1cos(bx)+C2sin(bx)) – загальний розв’язок.
149. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
Означення.Лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням зі сталими коефіцієнтами називають рівняння виду y”+p*y’+q*y=f(x), де p,q – сталі величини,а f(x) – задана функція, неперервна на проміжку (a;b).
Т еорема.Загальним розв’язком рівняння y”+p*y’+q*y=f(x) є сума його довільного частинного розв’язку і загального розв’язку його однорідного рівняння y”+p*y’+q*y=0, тобто у=у(х)+у*(х),де у(х) – загальний розв’язок однорідного рівняння, у*(х) – частинний розв’язок неоднорідного рівняння.