142.Задачі Коші.
Задача Коші містить одну початкову умову і має вигляд:
F(x,y,y’)=0
y(x0)=y0
Теорема Коші про існування і єдність розв’язку
Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку y’=f(x,y) функції f’x(x;y) та f’y(x;y) непевні в області D,яка містить точку М0(х0;у0), то існує єдиний розв’язок цього диференціального рівняння,що відповідає умові у(х0)=у0.
Ця теорема дає достатні умови існування єдиного розв’язку.
Для диференціальних рівнянь другого порядку, як і для рівнянь першого порядку, розглядається задача Коші або задача з початковими умовами.
Для диференціальних рівнянь другого порядку задача Коші має вигляд: серед усіх розв’язків рівняння знайти такий розв’язок у=у(х), х є (a;b), який при х= х0 є (a;b) задовольняє такі умови у(х0)=у0 , у’(х0)=у’0 тобто:
F(x,y,y’,y”)=0
y(x0)=y0
у’(х0)=у’0
С
талі
С1
і
С2
знаходять
із системи рівнянь y0=φ(x0,С1,С2),
y’0=φ’(x0,С1,С2)
143.Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
Означення. Функція f(x;y) називається однорідною функцією n-го виміру відносно змінних х та у, якщо для довільного числа t≠0 виконується тотожність f(tx;ty)=tn*f(x,y).
Означення. Однорідним диференціальним рівнянням називаєть рівняння виду P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, де функції P(x,y) і Q(x,y) є однорідними функціями однакового виміру.
Алгоритм розв’язання однорідного диференціального рівняння:
1.Зробимо підстановку y=z*x , де z=z(x) – нова невідома функція (ця підстановка зводить однорідне рівняння до диференціального рівняння з відокремлюваними змінними).
2.Похідна добутку y’=(z*x)’=z’*x+z*x’=z’*x+z або в диференціалах dy=d(zx)=zdx+xdz/
3.Підставивши у та y’(або dy) в дане диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними відносно x та z.
4.Розвязавши диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними, зробимо обернену заміну y=z*x, тому z= y/х, і отримаємо загальний розв’язок або загальний інтеграл даного диференціального рівняння.
5.Якщо задано початкову умову y(x0)=y0,то знайдемо частинний розв’язок або частинний інтеграл задачі Коші.
144.Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
Означення.Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду y’+p(x)*y=g(x), де p(x) та g(x) – непевні на деякому проміжку функції.
Алгоритм методу Бернуллі:
1.Розв'язок лінійного диференціального рівняння шукаємо у вигляді добутку двох невідомих функцій y=u*v, де u=u(x),v=v(x).Одну з цих функцій можна вибрати довільно, а друга визначається з даного рівняння.
2.Оскільки y=u*v,то y’=u’v+uv’(похідна добутку).
3.Підставимо y=u*v і y’=u’v+uv’ у рівняння y’+p(x)*y=g(x) і одержимо u’v+uv’+p(x)*u*v= g(x). Згрупуємо другий і третій доданки винисенням за дужки спільного множника і одержимо u’v+u(v’+p(x)*v)=g(x).
4.Спочатку визначимо частинний розв’язок v=v(x), розв’язавши рівняння v’+p(x)*v=0 і покладаючи довільну сталу інтегрування рівною нулю (С=0). Дане рівняння є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.
5.Підставивши знайдену функцію v=v(x) в рівняння u’v+uv’+p(x)*u*v= g(x) маємо u’v+u*0=g(x), тобто u’v(х)=g(x) – диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними відносно u(x).
З цього рівняння знайдемо u=u(x)+С.
6.Отримавши u=u(x) і v=v(x), знайдемо загальний розв’язок y=u*v=( u(x)+С)* v(x).