138. . Використання рядів до наближених обчислень функцій.

Алгоритм наближеного обчислення функції f (x) в точці х0

• Розкласти f (x) у степеневий ряд в інтервалі його збіжності.

• Точне значення f (x0) дорівнює сумі відповідного числового ряду f (x0) = аn x0n , а наближене значення – частковій сумі ряду S n (x0) , тобто f (x0) ≈ S n (x0) .

• Оцінити похибку:

а) для знакопочергових рядів

│rn (x0) │=│fn+1 (x0) + fn+2 (x0) +… │< fn+1 (x0) │

б) для знакозмінних і знакододатних рядів величину rn (x0) обчислюють :

│rn (x0) │≤ │fn+1 (x0) │+│ fn+2 (x0) │+…< a1 +a2+…=S

139. Диференціальні рівняння. Основні поняття та означення

Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке містить незалежну змінну х, невідому функцію у(х) та її похідні або диференціали і має загальний вигляд Порядок диференціального рівняння визначається порядком старшої похідної, яка входить до даного диференціального рівняння.

Загальним розв’язком диференціального рівняння називається функція, яка містить стільки сталих, який порядок диференціального рівняння, і підстановка якої в дане диференціальне рівняння перетворює його в тотожність, тобто має вигляд

Загальний розвязок,який не розв’язаний відносно у(х) і має вигляд називається загальним інтегралом диференціального рівняння.

Розвязок, знайдений із загального розвязку при фіксованих значеннях сталих називається частинним розв’язком диференціального рівняння.

Одночасне задання диференціального рівняння і відповідної кількості початкових умов називається задачею Коші.

140.Диференціальні рівняння першого порядку.Основні поняття.

Означення.Рівняння вигляду F(x,y(x),y’(x))=0,яке містить похідну тільки першого порядку, називається диференціальним рівнянням першого порядку.

Загальний розв’язок диференціального рівняння першого порядку містить одну сталу і має вигляд y=ф(х,С) (або загальний інтеграл Ф(х,у,С)=0).

Задача Коші містить одну початкову умову і має вигляд:

F(x,y,y’)=0

y(x₀)=y₀

Теорема Коші про існування і єдність розв’язку

Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку y’=f(x,y) функції f’_x(x;y) та f’_y(x;y) непевні в області D,яка містить точку М₀(х₀;у₀), то існує єдиний розв’язок цього диференціального рівняння,що відповідає умові у(х₀)=у₀.

Ця теорема дає достатні умови існування єдиного розв’язку.

Геометричне тлумачення теореми. Через кожну точку області D площини ХОУ проходить одна і тільки одна інтегральна крива.Точки площини, в яких не виконуються умови теореми Коші, називаються особливими.Через кожну з таких точок проходить кілька інтегральних кривих або не проходить жодної.

141.Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

Означення. Рівняння виду y’=f₁(x)*f₂(у), де f₁(x) і f₂(у) – задані і непервні на деякому інтервалі функції, називається диференціальним рівняннм з відокремлюваними змінними.

Права частина рівняння є добутком двох множників, кожен з яких є функцією лише однієї змінної.

Алгоритм розв’язування диференціального рівняння:

1.Згідно з еквівалентною формою запису похідної, як відношення диференціалів функції і незалежної змінної y’=dy/dx, маємо dy/dx= f₁(x)*f₂(у).

2.Відокремимо змінні, поділивши обидві сторони рівняння на f₂(у) та помноживши на dx, дістанемо dy/ f₂(у)= f₁(x)*dx (f₂(у)≠0).

3.Проінтегруємо обидві частини рівняння, інтегруючи ліву частину по змінній у, а праву – по змінній х, знаходимо невизначені інтеграли, які відрізняються лише на сталу величину С, одержимо ∫ dy/ f₂(у)=∫ f₁(x)*dx +С.

4.Якщо задано початкову умову, то знайдемо частинний розв’язок.