131.Абсолютна та умовна збіжність рядів.

Знакозмінний ряд називають абсолютно збіжним, якщо збігається ряд, складений з абсолютних величин його членів, тобто ряд

Знакозмінний ряд називають умовно збіжним, якщо цей ряд збігається, а ряд, складений з абсолютних величин його членів, розбігається. Якщо збігається ряд , то збігається і сам знакозмінний ряд .

132. Функціональні ряди. Основні поняття.

Ряд членами якого є функції визначені в області D , n € Nназиваються функціональним рядом.

Якщо числовий ряд збіжний (розбіжний), то точка називається точкою збіжності (розбіжності) ряду , а множина всіх точок збіжності ряду називається областю збіжності цього функціонального ряду.

- часткова сума функціонального ряду , яка є функцією від х, а -й залишок ряду.

133.Степеневі ряди. Основні поняття. Теорема Абеля.

Степеневим рядом називають функціональний ряд виду або при ряд виду – дійсні або комплексні числа.

Теорема Абеля. Якщо ряд збігається при , то він збігається для всіх х, що задовольняють нерівність . Якщо ряд розбігається при х , то він розбігається при всіх х, що задовольняють нерівність .

Наслідок. Для степеневого ряду існує число таке, що для всіх значень х, що задовольняють нерівність , ряд збігається, а при всіх х, таких що ,ряд розбігається.

134. Радіус, інтервал, область збіжності ряду.

Число R, яке задовольняє умови наслідку до теореми Абеля, називають радіусом збіжності степеневого ряду, а інтервал I= (-R;R) називають інтервалом збіжності степеневого ряду.

Якщо степеневий ряд збігається при x=-R або при , або при x=R, або x=-R і x=R тоді областю збіжності D степеневого ряду буде [-R;R) або (-R;R], [-R;R] відповідно.

Якщо R=0, то ряд ряд збігається в єдиній точці х =0

Якщо R= , то ряд збігається на всій числовій осі.

Обчислення радіуса та області збіжності степеневого ряду

1.

2. .

3.Область збіжності ряду часто знаходять за ознакою Далампера або радикальною ознакою Коші, застосовуючи їх до ряду , складеного з модулів членів заданого ряду, тобто розв’язуючи нерівність або

135. Ряд Тейлора.

. Це степеневий ряд називається рядом Тейлора для функції .

136. Ряд Маклорена

Такий ряд називають рядом Маклорена для функції

137. Використання рядів до наближених обчислень функції

Алгоритм наближеного обчислення функції

1. Розкласти у степеневий ряд в інтервалі його збіжності.

2. Точне значення дорівнює сумі числового ряду , де , а наближене значення , – частковій сумі ряду.

3. Оцінити похибку

А)для знакопочергових рядів

Б) для знакозмінних і знакододатних рядів величину

Де – знакододатний збіжний ряд, а S - його сума