120. Метод найменших квадратів.

Нехай х₁, x₂, … x_n – послідовність значень незалеж змінної, а y₁, y₂, … y_n – послідовн. значень залежної змінної. Необхідно підібрати пряму, яка найліпшим чином відображає залежність між х і у  відхилення фактичних значень ф-ції від підібраної прямої має бути мінімальним. Нехай y=ax+b є рівн. цієї прямої  y₁=ax₁+b₁ … y_n=ax_n=b_n

Відхилення складає:

y₁ – y_i = y_i – (ax_i + b) = y_i – ax_i – b.

Це відхилення має бути додат або від’ємним, тому пряма підбирається так, щоб сума квадратів відхилень була найменшою. Необхідна умова існування min полягає в тому, що f/a = 0 f/b = 0.

Маємо: (y₁-b-ax₁)²=y₁²+b²+a²x₁²-2abx_i-2bx_iy_i, отже:

Обчислимо: Таким чином ми отримали 2 рівн з двома змінними a і b. Розв’язання цих двох рівн дає значення a і b, які визначають пряму, яка найкраще відображає хід змінної ф-ції.

121. Поняття ряду. Збіжність ряду та його сума.

Вираз виду називають числовим рядом, а числа членами числового ряду.

Числовий ряд називають збіжним, якщо існує скінченна границя послідовності його часткових сум, тобто . Число S називається сумою ряду.

Якщо послідовність часткових сум ряду не має границі, то ряд називають розбіжним і суми для нього не існує.

Числовий ряд, отриманий з даного ряду відкиданням n-перших членів , називають n-м залишком ряду .

Суму ряду можна записати у вигляді , де R(n) – це похибка,яка виникає при заміні суми S ряду частковою сумую S(n) цього ряду.

122.Властивості збіжних рядів.

1. Якщо ряд збігається і має суму S, то ряд , одержаний множенням даного ряду на число С, також збігається і має суму С*S.

2. Якщо ряд і - два збіжні ряди відповідно з сумами , то ряд також збігається і його сума дорівнює .

3. Відкидання (приписування) скінченої кількості членів не впливає на збідність ряду.

4. Для того, щоб ряд збігався, необхідно і достатньо, щоб залишок ряду R(n) прямував до нуля при n-> ∞, тобто

123. Необхідна ознака збіжності ряду.

Теорема. Якщо ряд збігається, то границя його загального члену при n->∞ дорівнює нулю, тобто

Наслідок (достатня ознака розбіжності ряду). Якщо або не існує, то ряд

розбіжний.

124.Еталонні ряди

Розглянемо деякі так звані еталонні ряди , що використовуються для порівняння. Для того, щоб їх використовувати, необхідно знати , які ряди збіжні і які розбіжні.

1.Гармонічний ряд – розбіжний.

2.Узагальнений гармонічний ряд

При – розбіжний

При – збіжний.

3.Геометричний ряд (ряд геометричної прогресії) знаменником qі першим членом a

При – збіжний

При – розбіжний.

125. Достатні ознаки збіжності додатніх числових рядів. Ознака порівняння.

Достатні ознаки збіжності рядів:

1)ознака порівняння.

Нехай задано два ряди:

1)

2)

Для членів яких виконується нерівність (для всіх n). Тоді якщо ряд збіжний, то і ряд збіжний, і навпаки.

2)Гранична ознака порівняння

3) ознака Далампера

4)радикальна ознака Коші

5) Інтегральна ознака Коші

126. Гранична ознака порівняння

Якщо задано ряди з додатніми членами і , причому існує скінчена границя , то ряди одночасно є або збіжними або розбіжними.

127. Ознака Далампера.

Якщо для ряду з додатними членами існує границя , то приD< 1 - Ряд розбіжний ,

D> 1 - Ряд збіжний,

D = 1- Треба застосувати іншу ознаку.

128. Радикальна ознака Коші.

Якщо для ряду додатними членами існує границя ,то при

К<1- ряд збіжний

K>1 – ряд розбіжний

K=1 – треба застосувати іншу ознаку.

129. Інтегральна ознака Коші.

Нехай задано ряд , де – неперервна, додатна і монотонно спадна функція на проміжку .Тоді ряд та невласний інтеграл збігаються або розбігаються одночасно.

130. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца.

Числовий ряд , члени якого мають довільні знаки, називаються знакозмінним рядом.

Частинним випадком знакозмінних числових рядів є знакопочергові ряди.

Числовий ряд виду , знаки членів якого змінюються по черзі, називається знакопочерговим рядом. Загальний член ряду , де а(n )>0, n=1,2….

Ознака Лейбніца. Нехай для знакопочергового числового ряду виконуються умови:

1.Послідовність є незростаючую, тобто

2.Границя загального члена Тоді ряд є збіжний.