111.Формула Ньютона –Лейбніца, для обчислення визначених інтегралів.

Якщо функція — неперервна для то визначений інтеграл від функції на проміжку дорівнює приросту первісної функції на цьому проміжку, тобто

де

112. Метод безпосереднього інтегрування визначених інтегралів

Для обчислення визначеного інтеграла при умові існування первісної користуються формулою Ньютона-Лейбніца:

З цієї формули видно порядок обчислення визначеного інтегралу:

1. знайти невизначений інтеграл від даної функції;

2. в отриману первісну підставити на місце аргументу спочатку верхню, а потім нижню межу інтеграла;

3. знайти приріст первісної, тобто обчислити інтеграл

113.Метод інтегрування заміни змінної у визначеному інтегралі.

Заміна змінної у визначеному інтегралі здійснюється за формулою

Метод підстановки у визначеному інтегралі

Теорема: Якщо: 1) f(x) – неперервна для x[a;b]; 2) ()=а, ()=b; 3) x=(t) та ‘(t) – неперервні для t [;]; 4) при t [;]x [a;b], то

Зауваження: При заміні змінної інтегрування у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування і тому нема потреби повертатись до початкової змінної.

114.Метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Інтегрування частинам у визначеному інтегралі

Теорема: Якщо ф-ії u(x) та v(x) мають неперервні похідні для x[a;b], то

115.Застосування визначеного інтеграла для обчислення площ фігур обмежених лініями.

Якою б не була криволінійна фігура, що обмежена неперервними кривими лініями, шляхом її розсікання лініями паралельними осям координат, обчислення площі фігури можна звести до обчислення площ розглянутих нижче фігур.

І. Фігура обмежена лініями , y = 0, x = a, x = b (рис. 8.5). Функція — неперервна та Площа S такої криволінійної трапеції за геометричним змістом визначеного інтеграла така: .

Якщо при виконанні всіх інших умов (рис. 8.6),

Рис. 8.5	Рис. 8.6	Рис. 8.7

ІІ. Фігура обмежена лініями (рис. 8.7). Функція — неперервна та Площа S такої фігури буде

116.Невласний інтеграла з нескінченою верхнею межею

Невласний інтеграла з нескінченою верхнею межею має вигляд:

(-;b]

117.Невласний інтеграла з нескінченою нижнею межею

(;

118.Відмінність між невласними інтегралами І та ІІ роду

Підкреслимо суттєву відмінність між криволінійними інтегралами: на відміну від криволінійного інтеграла першого роду криволінійний інтеграл другого роду змінює свій знак на протилежний при зміні напряму шляху інтегрування:

                       

119 Невласний інтеграл ІІ роду.

Нехай функція визначена і неперервна при , а в точці вона або невизначена, або має розрив другого роду. Тому говорити про інтеграл як про границю інтегральної суми неможливо, тому що функція не є неперервною на відрізку і, внаслідок цього, границя інтегральної суми, в класичному розумінні, не може існувати.

Означення 1. Якщо існує скінчена лівостороння границя , то цю границю називають невласним інтегралом від розривної функції на відрізку і вважають, що

.

У цьому випадку інтеграл називають збіжним, а саму функцію інтегрованою на відрізку . Якщо границя рівна , або зовсім не існує, то інтеграл розбіжний.

Аналогічно визначається невласний інтеграл другого роду, якщо функція неперервна при , а в точці вона або невизначена, або має розрив другого роду:

.