106.Інтегрування тригонометричних функцій

Для інтегрування виразів ; ; ; зручно користуватися наступними формулами , які перетворюють добуток функцій у суму.

107.Інтегрування найпростіших раціональних дробів.

Означення. Найпростішими раціональними дробами І, ІІ, ІІІ, ІV типу називаються правильні дроби вигляду:

К≥2, ціле)

D<0

k≥2, ціле, D<0

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів І –ІІ типів

При інтегруванні найпростішого дробу ІV типу потрібно спочатку виділити в знаменнику повний квадрат, а потім вираз, що стоїть під квадратом, замінити на нову змінну. Отже одержимо формулу

= ln|x²+2px+q|+ arcctg( +C

108.Інтегрування найпростіших раціональних дробів

Раціональним дробом називають виразR(x)= , де Q_m(x), P_n(x)-многочлени відповідних степенів.Якщо m>n,то дріб неправильний; якщо m<n,то дріб правильний..

Теорема: Будь-який неправильний раціональний дріб розкладається на суму найпростіших раціональних дробів типу І-ІV,коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.

1) Корені знаменника дійсні та різні:

Q(x)=(x-₁)(x-₂)…(x-_n)

2) Корені дійсні, деякі кратні.

3) Корені дійсні, серед них є кратні, знаменник містить квадратний тричлен.

109.Визначений інтеграл та його властивості.

Нехай — деяка функція, що задана на проміжку [a; b]. Розіб’ємо [a; b] на n частин точками так що

Означення. Якщо існує скінченна границя інтегральних сум S_n при і не залежить ні від способу розбиття [a; b] на частини , ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції на проміжку [a; b] і позначається:

,

Властивості визначеного інтеграла

І. Якщо , то

ІІ. Сталий множник можна виносити з-під знака визначеного інтеграла, тобто

ІІІ. Якщо та інтегровні на [a; b], то

IV. Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл змінить лише свій знак на протилежний, тобто

V. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю

VI. Якщо — інтегровна в будь-якому із проміжків: [a; b], [a; c], [с; b], то

VII. Якщо і інтегровна для то

VIII. Якщо , — інтегровні та для то

IX. Якщо f(x) — інтегровна та для то

110.Задача, що призводить до поняття визначеного інтеграла

Задача про площу криволінійної трапеції

Фігуру, обмежену лініями у=f(x), x=a,x=b, y=o,називають криволінійною трапецією. Для обчислення площі криволінійної трапеції поділимо відрізок[a;в] на n частин так, щоб а=х₀<x₁ <x_k …<X_n

Довжини цих частин позначимо _к= _к - _к-1Перпендикуляри до осі ОХ проведені з точок поділу до перетину з кривою у=f(x), розрізняють усю площу на n-вузькі криволінійні трапеції. Замінимо кожну з цих трапецій прямокутником з прямокутником з основою _к та висотою f(c_k) _к.Cума площ усіх прямокутників S= . Площа криволінійної трапеції S= . значення буде найточніше, якщо перейти до границі.