101.Інтегрування частинами

Цей метод застосовується, якщо під знаком інтеграла є добуток функцій, причому хоча б одна з них не є степеневою.

Нехай u=u(x), та v=v(x) – диференційовані функції, тоді диференціал добутку буде d(u۰v)=v۰du+u۰dv, u۰dv=d(u۰v)-v۰du, про інтегруємо останню рівність: = за властивістю невизначеного інтеграла , тому

=

Це формула інтегрування частинами, яка застосовується, коли одержаний інтеграл менш складний, ніж даний

Рекомендації до застосування методу інтегрування частинами:

1)в інтегралах виду sin x dx; cos x dx; а^х dx,(де -многочлен) позначають: u= , dv-залишок;

2) в інтегралах виду ln x dx; arctg x dx; arcsin x dx; (добуток многочлена і оберненої функції) позначають: u - обернена функція, dv= dx;

3) в інтегралах виду , немає значення, що позначати u, а що позначати dv, але такі позначення треба робити двічі, оскільки двічі відбувається безпосереднє інтегрування частинами. У результаті одержимо рівняння відносно шуканого інтеграла, розв`завши яке, знаходимо інтеграл.

Зауваження: Для u знаходимо диференціал, du = u`dx, а для dv інтеграл v= .

102.Інтегрування виразів, що містять у знаменнику квадратний тричлен

Інтегрування виразів, що містять у знаменнику квадратний тричлен ах+bx+c, зводиться до виділення повного квадрату із квадратного тричлена і використання формул:

1.

2.

3.

4.

5.

Використовуючи метод підстановки, вводиться заміна: х± =

103.Інтегрування виразів, що містять у знаменнику квадратний тричлен

Інтегрування виразів, що містять у знаменнику квадратний тричлен ах+bx+c, зводиться до виділення повного квадрату із квадратного тричлена і використання формул:

1.

2.

3.

4.

5.

Використовуючи метод підстановки, вводиться заміна: х± =

104 .Метод невизначених коефіцієнтів

Інтегрування раціональних дробів методом невизначених коефіцієнтів пропонуємо проводити з використанням такої послідовності.

Алгоритм методу невизначених коефіцієнтів

1. Перетворити даний дріб у правильний.

2. Перетворити знаменник у добуток найпростіших многочленів.

3. Записати правильний дріб у вигляді суми найпростіших дробів І-ІV типів, де в чисельнику стоять невизначені коефіцієнти

4. Звести суму найпростіших дробів до спільного знаменника і отримати СЛАР, прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях змінної.

5. Розв`язок СЛАР дає невизначені коефіцієнти.

6. Кінцевий результат отримаємо після обчислення інтегралів многочлена і найпростіших дробів.

105.Інтегрування функцій, що містять ірраціональності.

При інтегруванні виразів, що містять дробові степені змінної (тобто ірраціональності) методом підстановки, зводять підінтегральну функцію до раціонального дробу (раціоналізують інтеграл). Якщо підінтегральна функція є раціональним дробом відносно х^а, де а- дробове число, то в цьому випадку вводять нову змінну t= , де q – спільний знаменник дробових показників степеня змінної х.