95. Знаходження умовного екстремуму.

Розглянемо ф-цію z=f(x,y). Екстремум цієї ф-ції при умові, що змінні х, у пов’язані умовою φ(х,у)=0, називається умовним. Геометрично це означає, що точка М(х,у) лежить на лінії,визначеній рівнянням φ(х,у)=0. Дл знаходження умовного екстремуму можна діяти наступним чином.

Введему ф-цію Лагранжа F(x,y)=f(x,y)+λ φ(х,у) і запишемо систему

Розвязавши сит. рівнянь отримуємо критичні точки ф-ції F(X,y) Питання про існування екстремуму в критичних точках вирішується окремо,зокрема,з фіз.. або геометр. міркувань. Для ф-ції u=f(x,,y,z) з двома рівняннями зв’язку і ф-ція Лагранжа має вигляд F=f+λ1 φ1+ λ2 φ2, а сист. записується так:

Розвязавши сит. рівнянь отримуємо критичні точки ф-ції F(X,y) Питання про існування екстремуму в критичних точках вирішується окремо,зокрема,з фіз.. або геометр. міркувань. Для ф-ції u=f(x,,y,z) з двома рівняннями зв’язку і ф-ція Лагранжа має вигляд F=f+λ1 φ1+ λ2 φ2

96. Знаходження найбільшого і найменшого значення ф-ї в оласті d

Алгоритм:

1.Знаходять в цій області критичні точки.

2. На межі області за допомогою рівняння межі функцію зводять до функції однієї змінної, для якої знаходять критичні точки.

3. Знаходять значення функції в усіх знайдених критичних точках і в кутових точках межі області

4. Серед цих значень обирають найбільше та найменше.

97. Поняття первісної

Первісною ф-цією для даної ф-ції f(x) називають ф-цію F(x) таку, що f(x)=F’(x) або f(x)dx=dF(x).

Теорема про множину первісних:

Будь-які 2 первісні однієї і тієї ж ф-ції відрізняються тільки на постійний доданок. F₂(x)=F₁(x+c).

98. Невизначений інтеграл.

Невизначеним інтегралом заданого виразу ,або заданої функції називається сукупність первісних F(x)+c для функції або для даного диференціала .

Невизначений інтеграл заданого виразу позначається

де – підінтегральна функція, підінтегральний вираз, х – змінна інтегрування, С – стала інтегрування.

99. Метод безпосереднього інтегрування

Безпосереднім - називається інтегрування при якому шляхом алгебраїчних перетворень і застосування властивостей невизначеного інтеграла зводять підінтегральні вирази до основних формул інтегрування, тобто до табличного вигляду.

100. Інтегрування підстановкою ( метод заміни змінної)

Для знаходження заданого інтеграла зробити підстановку х = (t), dx= ’(t)dt, тоді = ’(t)dt

Алгоритм методу заміни змінної

1.Частину підінтегральної функції замінити на нову замінну.

2.Знайти інтеграл від обох частин змінної.

3.Весь підінтегральний вираз подати через нову змінну, щоб одержати табличний інтеграл.

4.Знайти одержаний інтеграл.

5.Виконати обернену заміну.