8. Ранг матриці Властивості рангу матриці. Елементарні перетворення матриці.

Рангом матриці A розмірність mXn називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора утворенного з елементів матриці. Позначають ранг – r чи r(A)

Властивості:

1. r(A) = 0 коли А – нульова;

2. r(A) <= min (m*n);

3. r(A) = n, якщо матриця А – квадратна.

Елементарні перетворення:

1.Відкидання нульового рядка або стовбця;

2.Перестановка рядків(стовбців) матриці;

3.Транспонування матриці;

4.Множення всіх елементів будь якого рядка(стовбця) на дійсне число яке не дор. 0

5.Додавання до елементів будь якого рядка(стовбця) відповідних елементів іншого рядка(стовбця), помножених на дійсне число, яке не = 0

9. Основні поняття системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n змінними. Правило Крамера.

СЛАР назив. лінійною, якщо змінні стоять тільки в 1 стовбчику і СЛАР має загальний вигляд.

Розв’язком СЛАР назив. множина дійсних чисел підстановка яких у СЛАР замість змінних перетвоює кожне рівняння системи у тотожність.

Правило Крамера

Якщо головний визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих, системи n-лінійних рівнянь з n-невідомими відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний розв’язок (сумісна і визначена), який знаходиться за формулами:

, , ..., .

де -головний визначник, який складається з коефіцієнтів при невідомих у лівій частині системи.

-визначник, який одержується шляхом заміни j-го стовпчика в головному визначник на стовпчик вільних членів.

10. Матричний метод розв’язання слар

Нехай А – основна матриця системи, яка складається з коефіцієнтів при змінних;

В – матриця стовпчик вільних членів;

Х – матриця стовбець змінних.

Тоді СЛАР має вигляд: А*Х=В(матричне рівняння)

Якщо визначник матриці не = 0, то існує обернена матриці, тому матричне рівняння можна домножити зліва на обернену

Х = А^(-1)*B

11.Теорема Кронекера-Капеллі. Алгоритм розвязування слар

Теорема: система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді, і тількі тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширенної матриці.

12. Метод Гаусса.

Метод Гаусса розвязування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь до трикутного вигляду.

13. Метод Жорданна-Гаусса.

Розв’язання рівнянь методом Г-Ж здійснюється за допомогою розрахункової таблиці в яку записують коофіцієнти при невідомих, стовпчики вільних членів і контрольний стовпчик.

В контрольний стовпчик 1-ого стовбця записують сумму елементів по рядках. Елементи контрольного стовпчика 2-ого і наступних таблиць продовжують за правилом прямокутника. Контроль здійснюють так: якщо скма елементів рядка, крім останньго дорівнює останньму елементу, то обчислення зроблене вірно.

Розв’язування продовжується доки ми не отримаємо стільки одиночних векторів, скількі залишилося рівнянь.