81. Градієнт

Нехай задано скалярне поле u = u(x;y;z), причому функція u має частинні похідні .

Вектор зветься градієнтом скалярного поля u і позначається:

.

82. Похідні вищих порядків

Похідна від функції називається похідною першого порядку і являє собою деяку нову функцію. Мож­ливі випадки, коли ця функція сама має похідну. Тоді похідна від похідної першого порядку називається похідною другого порядку від функції і позначається .

Похідна від похідної другого порядку називається похід­ною третього порядку і означається , .

Похідна від похідної (n – 1)-го порядку називається похідною n-го порядку і позначається .

Таким чином,

83. Алгоритм дослідження функції на екстремум за допомогою першої похідної

Алгоритм:

1.Знайти область визначення функції.

2.Знайти критичні точки функції, тобто точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує.

3.Визначити знак похідної в околі кожної критичної точки.

4.Зробити висновок про характер критичної точки.

5.Обчислити екстремум функції в точці x0

84. Алгоритм дослідження на опуклість і вгнутість

1. Знайти область визначення .

2. знайти другу похідну

3. Зн. Критичні точки ф-ї тобто точки в яких або не існує.

4. дослідити знак на інтервалах, на які розбивають область визначення ф-ї її на критичні точки.

5. зробити висновок про характер інтервалів опуклості та існування точок перегину.

6. знайти точки перегину (Х₀; f(Х₀)).

85. Загальна схема побудови графыка ф-ї за допомогою похідної

1. область визначення ф-ї, точки перегину з осями координат.

2. дослідити на парність(непарність), періодичність

3. знаходимо асимптоти графіка ф-ї.

4. дослідження на монотонність та екстремум.

5. дослідження на опуклість, вгнутість та точки перегину графіка ф-ї.

6. побудова графіка ф-ї.

86. Правило Лопіталя

Правило говорить, що якщо функції   і   задовольняють такі умови:

1. або  ; 2. ;

3.  в проколотому околі  ; 4.Якщо   і   — диференційовані в проколотому околі  ,

то існує  .

87. Екстремум ф-ї, необхідна та достатня умови існування екстремуму

ОЗН1.Функція f(х) має в точці х_о максимум(мінімум ), якщо існує окіл цієї точки, в якому для всіх х х_о виконується рівність f(x)<f(x_o) ( f(x)>f(x_o)).

ОЗН2. Точки максимуму і мінімуму ф-ї називаються точками екстремуму ф-ї на проміжку ( a;b), а максимум і мінімум ф-ї називаються екстремумами функції.

Необхідна умова існування екстремуму.

Для того щоб точка х_о була точкою екстремуму ф-ї,визначеної в в околі цієї точки, необхідно, щоб похідна ф-ї в цій точці була рівна нулу або не існувала в точці х_о.

Достатня умова існування екстремуму

1. якщо при переході через точку х_о похідна змінює знак з плюса на мінус, то в точці х_о ф-я має максимум.

2. якщо при переході через точку х_о похідна змінює знак з мінуса на плюс, то в точці х_о ф-я має мінімум.

3. якщо при переході через точку х_о похідна не змінює знак, то точка х_о не є точкою екстремуму ф-ї.