75 Функції двох змінних. Область визначення. Лінії рівня

У економічних розрахунках часто використовуються функ­ції, що залежать не від однієї, а від двох і більше змінних. Розглянемо приклади таких функцій.

1. У=АК^аІ^ß - функція Кобба-Дугласа названа на честь аме­риканських вчених Д. Кобба і П. Дугласа, які вперше у 1927 р. за­стосували її як виробничу функцію до аналізу економіки, де У— вартість виробленої продукції, К. - вартість основного капіталу, Ь -вартість затрат праці, А,а,ß -числові невід'ємні параметри, на які накладається додаткова умова а+ ß =1.

2. Функція корисності - одне з базових понять економічної і серії, вона показує корисність т різних придбаних товарів. Най­частіше зустрічається у вигляді:

. а_і >0

а) и = , логарифмічна функція

˃0

б) ) и = 0˂ ˂1 функція сталої еластичності.

˃ 0

Розглянемо функції двох змінних.

Означення 8. Змінна z називається функцією незалежних змінних х та у, якщо кожній парі (х;у) з деякої області іх зміни відповідає певне єдине значення величини z:

Означення 9. Сукупність всіх впорядкованих наборів чисел виду (x; у), при яких функція r=f{х;у) приймає певні дійсні зна­чення, називають областю визначення функції.

76. Лінії рівння функції двох змінних

Означення 10. Криві лінії, що лежать у площині ХОУ і ма­ють рівняння f(х;у)=с (с-соnst), називаються лініями рівня функції х = f(х;у).

Лінія рівня - це множина усіх точок площини, для яких фу­нкція z=f(х;у) приймає одне значення.

Oзначення 11. Число А називають границею функції f(х;у) при х→ , у→ , якщо для будь-якого є>0 знайдеться число r, то для всіх точок (х; у) з r околу точки ( ) виконується нері-пність \f{х;у)-А\<є.

Для функції двох змінних справедливі теореми про границю суми, добутку і частки, встановлені для функції однієї змінної.

Означення 12. Функція f{х;у) називається неперервною в точці ( ), якщо вона визначена в деякій області, що містить цю точку, та езалежна від способу прямування до цієї точки.

Функція неперервна в деякій області, якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

76. Лінії рівня функції двох змінних.

Якщо змінна величина u залежить від n незалежних змінних , , ..., , то її називають функцією кількох змінних і позначають: u = f ( , , ..., ) або u = f(M), M( , , ..., ,) є Еn, , ,..., , – незалежні змінні або аргументи є рівноправними.

Криві лінії, що лежать у площині ХОУ і мають рівняння f(x;y) = c (c – const), називаються лініями рівня функції z = f (x;y).

77.Частиний приріст і частині похідні першого порядку

Нехай z= функція двох змінних. Надамо змінній х приросту ∆x, а змінна у залишається незмінною.

Означення 13. Функція r одержить приріст =f(х + у)-f(х;у), який називають частинним приростом по змінній х.

Якщо приросту надати змінній у, то функція z одержиш приріст ∆_yz=f(х,у + ∆у)-f(х;у), який називають частини приростом по змінній y.

Означення 14. Якщо існує

називають частинною похідною функції z = f(х;у) по змінній х

позначають або z'_x, f’_x(х;у), тобто

=

Аналогічно = – частина похідна по змінній y

За означенням кожна частинна похідна є похідною функці однієї змінної. Тому при обчисленні частинних похідних можна користуватись відомими правилами і формулами диференціюван ня функції однієї змінної.

Означення 15. Розглянемо функцію и = f( , … ).Надамо змінній х_k приросту ∆х,, а всі iнші незалежні змінні зафіксуємо, то функція одержить приріст ∆х_k u=f( , … ∆х_k ,… )- f( , … … )

який називають частинним приростом функції по змінній х_k .

Означення 16. Якщо існує границя що не залежить від способу прямування , то її називають частиною похідною першого порядку функції и=f( , … по змінній і позначають або або u’

Отже,

При знаходженні частинної похідної по змшнiй усі iнші змінні потрібно вважати сталими величинами і тому можна вико­ристовувати правила диференціювання та таблицю похідних фу­нкції однієї змінної.

78 1. Повний приріст та повний диференціал функції двох змінних

Означення І. Нехай маємо функцію двох змінних z=f(х;у). Якщо х та у мають одночасно приріст ∆х та ∆у, то різницю f(х+∆х;у+∆у)-f(х;у) називають повним приростом функції і позначають ∆z=f(х + ∆х,у + ∆у) - f(х;у).∆

Повний приріст функції можна записати у вигляді:

∆z=[f(+∆x;y+∆y)-f(x;y+∆y]+[f(x;y+∆y)-f(х;у).

У дужках і частинні прирости функції по кожній змінній.

Застосуємо до них теорему Лагранжа, одержимо:

∆z=∆x*f’_x(x+Ѳ∆x; y+∆y)+∆y*f’_y(x;y+Ѳ∆y) 0<Ѳ<1,

f’_x ^та f’ _y - ие відповідні границі. Тому якщо функція має границю, то її можна подати як суму границі та нескінченно малої величини ∆z= f’_x (x;y) ∆x+ f’_y(x;y) ∆y+a∆x+β∆y

Означення 2. Головна лінійна відносно ∆х та ∆у частина повного приросту функції називається повним диференціалом dz=f’_x( х;у)∆х+f’_y(х,у)∆у.

Прирости ∆х та ∆у незалежних змінних х та у називають-і •» диференціалами незалежних змінних і позначаються dх та dу, тому:

dz=

Отже ∆z = dz+a∆x+β∆y, де a∆x та β∆y нескінченно малі величини при ∆x→0 і ∆y→0, тому ∆z=dz .

Означення 3. Головна лінійна відносно приростів

, ∆ … )-частина повного приросту функції називається по-

вним диференціалом функції и=f(х₁, .... ) і позначається dи.

Повний диференціал знаходять за формулою: dи = f'_x1∆x₁+ f'_x2∆x₂ +….+f'_xn∆x_n

78. Повний приріст і повний диференціал функції двох змінних.

Нехай маємо функцію двох змінних z = f (x;y). Якщо х та у мають одночасно приріст Δх та Δу, то різницю f (x+Δx; y+Δу) – f(x;y) називають повним приростом функції і позначають Δz = f (x+Δx; y+Δу) – f(x;y)

Головна лінійна відносно Δх та Δу частина повного приросту функції називається повним диференціалом:

dz = f´x(x,y) Δх + f´y(x,y) Δу

79. Використання повного диференціала до наближених значень.

Використання повного диференціала до наближених значень ґрунтується на формулі:

80. Похідна за напрямком

Відомо, що механіч. зміст похідної ф-ції 1 незалеж змінної – змінювання ф-ції в даний момент х. Аналогічно можна тлумачити мех. зміст частин похідних І-го порядку ф-ції z=f(x;y)

z/x – швидкість зміни ф-ції в напрямі Ох.

z/y - швидкість зміни ф-ції в напрямі Оу.

Частин похідну ф-ції z не залеж змінної за напрямом ех, еу знаходять:

де  і  - кути, які утвор. Вектор е з осями координат.