71 Опуклість, вгнутість, точкн перегину

Означення 1. Крива у=f(x) називається опуклою (вгну­тою) па проміжку, якщо всі точки кривої лежать нижче (вище) будь - якої її дотичної на цьому проміжку.

Означення 2. Точка, яка відокремлює опуклу частину кривої від вгнутої, називається точкою перегину.

Наведемо без доведення необхідні й достатні умови опукло­сті, вгнутості та існування точок перегину кривої у = f(х).

Необхідні умови опуклості (вгнутості) кривої у = f(х) Якщо на відрізку [a;b] крива у = f(х) є опуклою (вгнутою), то f"(*) ≤0(f"(x) > 0) для всіх точок х є [a; b].

Достатні умови опуклості (вгнутості) кривої у = f(х) Якщо f "(х)<0 f"(х)˃0) на відрізку [а;Ь], то крива y = f(x) є опуклою (вгнутою) на цьому відрізку.

Необхідні умови існування точки перегину кривої у = f(х) Якщо - точка перегину кривої у = f(х), то f”( ) = 0 або f”( ) - не існує.

Достатні умови існування точки перегину кривої у = /(х) Нехай точка - критична точка другого роду, тобто

f"( ) = 0 або f"( ) не існує, і є D(y).

Якщо при переході через точку f"( ) змінила знак, ті

точка - точка перегину кривої у = f(х).

72. Опуклість, вгнутість, точкн перегину

Означення 2. Точка, яка відокремлює опуклу частину кривої від вгнутої, називається точкою перегину.

Необхідні умови існування точки перегину кривої у = f(х) Якщо - точка перегину кривої у = f(х), то f” = 0 або f” - не існує.

Достатні умови існування точки перегину кривої у = f (х) Нехай точка - критична точка другого роду, тобто

f” = 0 або f” не існує, і х є D(y).

Якщо при переході через точку f"( ) змінила знак, ті

точка - точка перегину кривої у = f(х).

73.Асимптоти графіка функції

Означення 7. Пряма, до якої нескінченно близько наближаються точки графіка функції у=f(х) при необмеженому віддаленні їх від початку координат, називається асимптотою кривої у=f(x)

Асимптоти бувають: вертикальні, горизонтальні, похилі.

Означення 3. Пряма х=а називається вертикальною асиметрією кривої у=f(х), якщо хоча б одна з односторонніх границь функції f(а-0) або f(a + 0) дорівнює нескінченності

Вертикальні асимптоти шукають на кінцях області визначення функції або в точках, які перетворюють знаменник функції f(x) в нуль.

Означення 4. Пряма у=b, де b = < ∞ називається горизонтальною асимптотою кривої у=f(х).

74 Функції кілької змінних. Основні поняття

Означення 1. Якщо змінна величина и залежить від п залежних змінних , … то її називають функцією кількох змінних і позначають:

и = f( , … ) або и=f(М), М( , … .) є

, … - незалежні змінні або аргументи є рівноправними.

Означення 2. Сукупність усіх числових значень, які мoжуть приймати аргументи , … і при яких функція u= f( , … ) приймає певні дійсні значення, називають облас­тю визначення функції.

Областю визначення функції багатьох змінних є деяка об­ласть простору Е_n.

Якшо функція визначена в деякій області та на її межі, то говорять, що функція визначена в замкненій області.

Означення 3. Точки, в яких функція кількох змінних не визначена, називають розривами цієї функції.

Означення 4. Окопом радіуса r точки М( , … ) називанють сукупність усіх точок М( , … ) простору Е_n відстань від яких до точки М₀ менша або дорівнює r, тобто

Означення 5. Число А називають границею функції u= f( , … )

в точці М₀ ( ) якщо для будь-якого малого ε˃0 знайдеться число r таке, що для всіх точок М( , … .) околу радіуса r точки Мв виконується нерівність

|f (( , … )-A |<ε

Границі функції кількох змінних мають багато таких властивостей, як і границі функції однієї змінної, проте між ними іс­нує принципова відмінність. Ми пам'ятаємо, що границя функції однієї змінної існує тоді і тільки тоді, коли існують обидві одно­сторонні границі функції у = f(х) в точці х, і вони рівні між собою. Коли ми говоримо про функцію двох змінних z = f(х;у), то рівність виконується тільки тоді, коли значення гра-

ниці не змінюється при наближені до точки ( ) по довільній траекторїі (зліва, справа, зверху, знизу, по довільній прямій, по повільній кривій). Це значно обмежує існування границі функції двох (кількох) змінних в точці.

Означення 6. Функція u = f( , … .)-називається непeрeрвною в точці М₀( , … ), якщо вона визначена в цій точці f( )незалежно від способу спрямування точки М до точки М₀,

Означення 7. Функція, неперервна в кожній точці деякої області, називається неперервною в цій області. Якщо функція неперервна в області D та на її межі, то вона неперервна в замк­неній області.

Область визначення та область неперервності функцій кіль­кох змінних співпадають.

.