67 Правило Лапіталя

3. Застосування похідної до обчислення границь. Прави­ло Лопіталя

У 1696 р. вийшов перший підручник „Аналіз нескінченно малих", написаний Лопіталем (1661-1704 рр.) під керівництвом Й.Бериуллі (1667-1748 рр.), де вперше було викладено спосіб розкриття невизначеностей

Правило Лопіталя Нехай функції (х) та g(х) визначені і диференційовні в околі точки .частка в точці має невизначеність або. , існує ,тоді існує і виконується рівність

Правило Лопіталя можна застосовувати повторно.

68 Застосування правила Лапіталя у невизначеностях виду

(0;∞), (∞; -∞), (

У невизначеностях виду (0;∞), (∞; -∞) спочатку потрібно за допомогою алгебраїчних перетворень звести до невизначеностей виду або. , а потім застосовувати правило Лопіталя.

Невизначеності виду (0;∞), (∞; -∞), (

зводять до невизначеносі або. , шляхом логарифмування.

69 Необхідна й достатня ознака зростання (спадання) функції

Якщо диференційовна на деякому проміжку функцій зростає (спадає) на цьому проміжку, то f ‘(х) ≥ 0 (f '(х)≤ 0).

Доведення, Нехай f(х) зростае на (а;Ь). Надамо аргументу x приріст ∆x так, що х +∆x є (а;Ь), і розглянемо частку

Оскільки f(х) - зростаюча, то f(х+∆х)>f(х) при ∆х>0 і f(x+∆x)<f(х) при ∆x<0, отже, ,тобто f ’(х)≥ 0, що й треба було довести.

Аналогічне доведення для спадної функції.

Достатня ознака зростання (спадання) функції Якщо

для всіх х є (а,b), то функція зростає (спадає) на проміжку (а;Ь).

Доведення. Згідно з теоремою Лагранжа про скінченні при­рости функції f(х) для довільних є (а;Ь) і таких, що отримаємо

Оскільки f(ξ)> 0 за умовою і , за припущенням, то

, як добуток двох додатних множників звідки тобто f(х) - зростаюча функція на (а;b).

Аналогічно доводиться достатня ознака спадання функції на проміжку.

70 Екстремум функції необхідна та достатня умова існування екстремуму

Означення 3. Функція f(x) має в точці х₀ максимум (міні­мум), якщо існує окіл цієї точки, в якому для всіх х≠ виконується нерівність f(х)<f( ) (f(x) >f( ))).

Необхідна умова існування екстремуму Для того, щоб точка була точкою екстремуму функції, визначеної околі цієї точки, необхідно, щоб похідна функції в цій точці була рівна нулю (f '( )=0) або не існувала в точці ».

Достатня умова існування екстремуму Нехай f(х) диференційовна в околі критичної точки , за винятком, можливо, самої точки , в якій функція f(х) є неперевною. Тоді:

1) якщо при переході через точку похідна f’(х) змінює знак з плюса на мінус, то в точці функція має максимум;

2) якщо при переході через точку ) похідна f'(x) змінює знак з мінуса на плюс, то в точці функція має мінімум;

3) якщо при переході через точку похідна f'(х) не змінює зтак, то точка не є точкою екстремума функції.