62 Диференціювання неявно заданих функцій

Означення 2. Функція у від аргументу х задана неявно, якщо вона записана рівнянням F(х; у)=0. нерозв 'язаним відносно залежної змінної у.

Наприклад, + =1, + =1

Для обчислення похідної у неявно заданої функції необхідно знайти похідну лівої і правої частини за відомими правилами таблицею похідних. При цьому необхідно пам'ятати, що х — незалежна змінна, а у—функція від х, тому x’=1,y'=y’

Алгоритм диференціювання неявно заданих функцій

1. Продиференціювати F(x;у)=0 по х, розглядаючи лі частину як складну функцію х.

2. Розв'язати одержане рівняння відносно у'_х.

63 Похідна степенево-показннкових функцій

Означення 3. Степенево-показниковою функцією назива­ють функцію виду

y=[u(x)

Алгоритм диференціювання степенево-показникової функції

1. Прологарифмувати дану функцію за основою e: lny=v(х)lпи(х).

2. Продиференціювати обидві частини рівності, враховуючи, що

lпу і Іnu - складні функції: y’=v’lnu+ u’v

3. З останньої рівності визначити похідну функції у, враховочн, що y=[u(x) ,y’=

64. Похідні внщнх порядків

До цього часу ми розглядали похідну '(х) від функції f (x), ту називали похідною першого порядку. Але похідна f (х) сама функцією, яка теж може мати похідну.

Похідною п-го порядку називається похідна від похідної (n-1)-го порядку.

Позначаються похідні f ‘'(х) - другого порядку (або друга похідна), f "(x) - третього порядку (або третя похідна).

Дня позначення похідних більш високого порядку використовують арабські цифри в дужках, наприклад (x), ).

65 Диференціал та його властивості

Поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної і належить до основних понять математичного аналізу. Термін диференціал (від латинського differentia — різниця) ввів у математи­ку видатний німецький математик Лейбніц (1646-1716 рр.).

Означення 1. Головну, лінійну відносно ∆х частину приро­сту функції називають диференціалом функції і позначають:

dy=

Якщо .у=х,то y’= х’=1, dy = dx = ∆х, тобто dу= .

Властивості диференціала

1. Диференціал сталої величини дорівнює 0: dс = 0,

2. Сталий множник можна виносити за знак диференціала:

d(cu)=cdu

3. Диференціал суми функцій дорівнює сумі диференціалів під функцій доданків: d(u±v)=du±dv

4. Диференціал добутку дорівнює сумі добутку диференціа­ла першого множника на другий множник та добутку диференці­али другого множника на перший: d(uv)=vdu+udv

5. Диференціал частки знаходиться за формулою:d =

6. Диференціал складної функції. Нехай y=f(x), x=φ(t), dy=

66 Застосування диференціала до наближених обчислень

Оскільки диференціал – це головна частина приросту функції, то справедлива рівність ∆y ≈ dy,

f(x+∆x)-f(x)≈f ’(x)∆x

f(x+∆x)≈f( )+f ’(x)∆x

Диференціал використовують для наближення обчислень значень функції за допомогою формули f(