59. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної. Поняття нормалі до графіка функції та її рівняння. Економічний зміст похідної.

Значення похідної   функції   у точці   дорівнює значенню кутового кофіціента дотичної до кривої   у точці з абсцисою  .

Рівняння дотичної до кривої   у точці M( ) має вигляд:

y=f́(x)=tga

В цьому означенні і полягає геометричний зміст похідної.

Нехай маємо рівняння кривої у=f(x) на площині та координати деякої точки M(x₀;y₀). Основними величинами, які можна знайти на основі цих даних є: 1) Рівняння дотичної до графіка функції

2) Рівняння нормалі

Нормаллю до кривої L в точці М₀ називається пряма, яка проходить через точку дотику М₀ перпендикулярно дотичній до кривої L в точці М₀.

Геометричний зміст похідної

похідна функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою : .

Нехай функція виражає кількість виробленої продукції u за час t, і необхідно знайти продуктивність праці в момент .

Очевидно, за період часу від до кількість виробленої продукції зміниться від значення до значення . Тоді середня продуктивність праці за цей термін .

Продуктивність праці в момент можна визначити як граничне значення середньої продуктивності за період часу від до при , тобто .

60. Похідна складної і оберненої функції

Якщо аргументом функції є функція, тобто у=f(z), де z = φ(x), то функція у = f[φ(х)] називається складною. Функція f(z) називається зовнішньою, а функція φ (х) - внутрішньою фу­нкцією або проміжним аргументом.

Для знаходження похідної складних функцій необхідно вміти їх подати у вигляді ланцюга елементарних функцій.

Теорема 7. Якщо у = f(z), z= φ (х) - диференційовні функції від своїх аргументів, то похідна складної функції існує і дорівнює іобутку похідної зовнішньої функції по проміжному аргументу на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною:

У’ = f ’[φ (x)]φ’(x)

Похідна оберненої функції

Розглянемо функцію у = f(z),диференційовну і строго мо­нотонну на деякому проміжку (а;b). Якщо змінну у розглядати як аргумент, а змінну х як функцію, то нова функція х = φ(у) є обер­неною до даної і неперервною на відповідному проміжку(f(a);f(b))

Теорема 8. Для диференційовної функції з похідною, що не дорівнює нулю, похідна оберненої функції дорівнює оберненій величині похідної даної функції:

61 Диференціювання параметрично заданих функцій

Означення 1. Функція, задана у вигляді , де t є (а;β), є

параметрично заданою.

Часто при заданні функцій х та у виражаються через деяку третю величину t, що називається параметром.

Наприклад, якщо еліпс + =1,то -парамет­ричне рівняння еліпса.

Ту саму функцію параметрично можна задати різними спо­собами, але зміст t буде іншим.

Теорема 1. Якщо функція у від х задана параметрично

, де φ(t) і g(t) - диференційовні функції і φ ‘(t)≠0, то похі­дна цієї функції

Доведення, х = φ(t) - розв'яжемо відносно t , t=k(x), k -фу­нкція, обернена до φ(t). у=g(t) - складна функція від х і маємо y=g(k(х)). Знайдемо похідну цієї складної функції: .= *. .= *. .

Тепер використаємо правило диференціювання оберненої фу-

нкція = Маємо = * = Що й потрібно було довести.