53. Властивості функцій неперервних на відрізку. Геометрична інтерпретація цих властивостей.

Функція у=f(x) називається неперервною на відрізку[a,b], якщо вона є неперервною на проміжку (a,b) і неперервна в точці х=а справа і в точці х=b зліва.

Якщо функція у=f(x) неперервна на відрізку [a,b], то вона обмежена на цьому відрізку, тобто існують такі числа А і В (А<В), що для всіх х є [a,b] виконується нерівність А≤ f(x)≤В.

Якщо функція у=f(x) неперервна на відрізку [a,b], то вона досягає на цьому відрізку свого найменшого т і найбільшого М значення.

Якщо функція у=f(x) неперервна на відрізку [a,b] і значення її на кінцях відрізках f(a) i f(b) мають протилежні знаки, то всередині відрізка [a,b]існує хоча б одна така точка ξ є (a,b), що f(ξ)=0, тобто крива у=f(x) перетне вісь Ох хоча б в одній точці.

54. Точки розриву функції.

Точка х₀називається точкою розриву функції у=f(x), якщо в даній точці функція не є неперервною.

Точка х₀називається точкою розриву першого роду, якщо в цій точці існують обидві односторонні границі, але вони різні.

Точка х₀називається точкою розриву другого роду, якщо в цій точці не існує або дорівнює нескінченності хоча б одна з односторонніх границь.

Точка х₀називається точкою усувного розриву, якщо в цій точці існують обидві односторонні границі, вони рівні між собою, але не дорівнюють значенню функції в точці х_0,або функція в цій точці не існує.

55. Задачі, що приводять до поняття похідної.

Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно, а закон руху її задається деякою функцією

(6.1)

1. Поставимо задачу: знайти швидкість точки в момент часу .

Нехай в деякий момент часу точка займала положенням (рис.6.1).Через проміжок часу точка займе положення і пройде шлях

Відношення

називається середньою швидкістю руху точки.

Означення. Швидкістю точки в момент часу називається границя середньої швидкості на проміжку часу , коли прямує до нуля:

Зазначимо, що формула дає змогу знайти швидкість у момент часу тільки тоді , коли існує границя цього відношення.

56. Означення похідної. Диференційованість та неперервність функцій в точці і на проміжку.

Похідною функції f(x) у точці х0 називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці х0 до приросту аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і позначається f'(x0).

Функція, яка має скінченну похідну в даній точці, називають диференційованою в цій точці.

Якщо функція у=f(x) диференційовна в точці х=х0 , то в цій точці вона неперервна.

57. Правила диференціювання функцій.

Похідна суми певної скінченої кількості функцій дорівнює сумі похідних доданків.

Похідна різниці двох функцій дорівнює різниці похідних зменшуваного і від’ємника.

Похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків першої функції на похідну другої функції і другої функції на похідну першої функції.

Похідна частки двох функцій дорівнює дробу, знаменник якого дорівнює квадрату дільника, а чисельник – різниці між добутком дільника на похідну діленого і добутку, поділеного на похідну дільника.