48. Властивості границь функції:границя сталої, суми, добутку, частки функцій, границя степеневої функції.

1. границя сталої в довільній точці х₀, дорівнює цій сталій.

2 . Границя суми скінченого числа функцій дорівнює сумі границь доданків (якщо кожна з них існує) 

3 . Границя добутку скінченого числа функцій дорівнює добутку границь множників (якщо кожна з них існує) 

4 . Границя відношення функцій дорівнює відношенню границь (якщо кожна з них існує і при цьому границя знаменника не дорівнює нулю) 

49. Розкриття невизначеного вигляду , ,(∞-∞)

Правило Лопіталя.

Н ехай виконані умови: функції f(х) та g(х) визначені і диференційовані в колі точки х0; частка цих функцій   в точці х₀ має невизначеність вигляду    або  ; існує  . Тоді існує   і виконує рівність:

Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞;

Н ехай   і  , тоді

     

 За умовою   при  , тому   при  .

Якщо   не прямує до 0 при  , то границя в правій частині (3) не існує, а тому і границя лівої частини (3) не існує.

Я кщо   при  , то вираз   має невизначеність  .

50. Перша та друга границі та наслідки з них.

Перша важлива границя . (функція визначена при всіх х 0.)

Наслідок: =0, тобто .

Д руга важлива границя е=

Я кщо в рівності припустити , а потім повернутися до попереднього позначення незалежної змінної, то одержимо е= .

Якщо функція розглядається тільки на множині натуральних чисел, то випливає, що е=

51. Неперервність функції в точці: означення Коші та означення в термінах приростів функції та аргументу. Застосування поняття неперервності при обчисленні границь функції.

! (означення Коші). Функція у=f(x) називається неперервною в точці х₀, якщо f(x)= f(x₀), тобто виконується дві умови:

1. f(x) визначена в точці x₀;

2 . Границя зліва дорівнює границі справа в цій точці і дорівнює значенню функції в ній: _-0 f(x)= ₊₀ f(x)= f(x₀)

! Під знаком неперервної функції можна переходити до границі

f(x)= f( x), тобто для неперевної функції можлива перестановка символів границі і функції.

! (Означення неперевності функції). Дамо аргументу x₀ приріст , тоді = f(x₀+ )- f(x₀) – приріст функції в точці x_0.

Функція у=f(x) називається неперервною в точці х₀,якщо вона визначена в цій точці, і нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто =0.

52. Властивості функцій у точці. Теорема про неперервність елементарних функцій.

1. Якщо функції f(x)і g(x) неперервні в точці х₀, то їх сума f(x)± g(x), добуток f(x)× g(x) і частка також є неперервними в точці х₀ функціями.

2. Якщо функція f(x) є неперервною в точці х₀ і f(х₀)>0 (f(х₀)<0), то існує окіл точки х_0, в якому f(х₀)>0 (f(х)<0).