43. Нескінченно малі функції в точні і на нескінченності, означення, властивості, геометрична інтерпретація.

Ф ункція а(х) називається нескінченно малою при х х₀(х х₀), якщо

х х₀

а(х)=0

Властивості нескінченно малих функцій

1. Алгебр. сума скінченого числа нескінч. малих функцій є нескінч. мала функція

2. Добуток нескінч. малої функції на сталу величину або на необмежену функцію чи на іншу нескінч. малу функцію нескінч. мала функція.

3. Частка від ділення нескінч. малої функції на функцію, границя якої ≠0, є нескінченно мала функція.

44. Нескінченно великі функції в точні і на нескінченності, означення, властивості, геометрична інтерпретація.

Ф ункція f(x) називається нескінченно великою при х х₀, якщо

х х₀

f(x)= , тобто для будь-якого М>0 існує ɓ= ɓ(М) >0, що для всіх х

таких, що ǀ х -х₀ǀ< ɓ, виконується нерівність ǀ f(х)ǀ >M.

Властивості нескінченно великих функцій.

1. Сума скінченого числа нескінч. вел. функцій є нескінч. вел. функція

2. Добуток нескінч. вел.функції на функцію границя якої ≠0 є нескінч. вел. функція.

3. Частка від ділення нескінч. вел. функції на функцію, що має границю в точці х₀, є нескінченно велика функція.

45. Теорема про зв’язок між нескінченно малими та великими функціями. Теорема про зв'язок міх нескінченно малою функцією та границею функції.

Якщо а(х) – нескінч. мала функція в точці х₀, то 1/а(х) – нескінч велика в точці х₀ і навпаки, якщо f(х) – нескінченно велика функція в точці х₀, то 1/f(х) – нескінченно мала в точці х₀.

Ф ункція f(x) має границю А в точці х₀ тоді і тільки тоді, коли її можна подати у вигляді суми числа А і нескінченно малої функції а(х) при х х₀, тобто f(x)=А+а(х).

46. еквівалентні нескінченно малі величини

Якщо   , То нескінченно малі величини α і β називаються еквівалентними (   ).

Очевидно, що еквівалентні величини є окремим випадком нескінченно малих величин одного порядку малості.

При   справедливі наступні співвідношення еквівалентності:

• 

• 

• ,де a> 0 

• 

•   ,де a> 0; 

• 

•   , Тому використовують вираз:

• ,де

47. Властивості функції, які мають границі в точці: єдність границі, граничний перехід у нерівності, границя проміжної функція, обмеженість функції в точці.

1. (єдність границі) у=f(x) не може мати двох різних границь в одній точці.

2. (граничний перехід у нерівності) Якщо в деякому околі точки х₀,крім, можливо, самої точки х₀,виконується нерівність f(x)≤ і кожна з функцій f(x) та має границю в точці х₀, то .

3. (границя проміжної функції) Нехай в деякому околі точки х₀, крім, можливо, самої точки х₀, виконується нерівність

4 .(в точці) Якщо функція у=f(x) має в точці х₀ границю, тобто , то у=f(x) – обмежена при х х_0.