н1.Матриця, основні поняття. Різновиди матриць.

Матрицею називається таблиця опорядкованих чисел або інших елементів, яка має m рядків і n стовпчиків. Числа a_ij називають елементами матриці,а запис m x n – розмірністю матриці. Якщо кількість рядків і стовпчиків матриці збігаються, то матриця називається квадратною. Квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші нулю, називається одиничною матрицею. Якщо всі елементи матриці, що знаходяться по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю, то матриця називається трикутною. Матриця у якій на головній діагоналі будь-які числа, а всі інші нулі – діагональна. Нульова – якщо всі елементи нулі. Транспонована – замінити елементи рядків елем. стовбців без зміни розташ. елем.

2. Дії над матрицями. Властивості дії над матрицями.

Сумою матриць одного порядку A=(aij) i B=(bij) називається матриця С=А+В; С=(cij) будь-який елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць А і В: Cij=aij+bij.

Добутком матриці A=(aij) на деяке число k називається така матриця С, кожен елемент якої Cij одержується множенням відповідних елементів матриці А на число k

Добутком матриці A=(Aij) розмірності m x p на матрицю B=(Bij) розмірності p x n називається така матриця С=А х В розмірністю m x n, C=(Cij), кожен елемент якої = сумі добутків елементів і рядка A на відповідний елемент j стовпця В.

1.A+B=B+A; 2. aA=Aa 3. a(A+B)=aA+aB 4. (a+b)A=aA+bA 5. a(bA)=(ab).

3. Визначники квадратних матриць Способи обчислення.

Кожній квадратній матриці можна поставити у відповідність число яку обчислюється за певним правилом.

Визначником другого порядку називається вираз вигляду:

1.

2.

3.

6. Мінори та алгебраїчні доповнення.

Мінором деякого елем. визначника називають визначник взятий з даного визнач. при викреслюванні рядка із стовбця де знаходиться даний елемент

Алгебраїчним доповненням елемента Aij називають мінор Mij, взятий зі знаком +, якщо сума номеру стовпця і номеру рядка, на перетині яких знаходиться елемент Aij парна, і зі знаком – якщо ця сума непарна. Позначається Aij=(-1)^i+j Mij

4. Визначник n-го порядку Теорема Лапласа

Визначником n–ого порядку називається число, яке дорівнює алгебраїчній сумі добутків елементів будь-якого рядка, або стовпчика на відповідні їм алгебраїчні доповнення.

5. Визначники. Властивості визначників.

Властивість 1: Визначник не змінюється при транспортуванні.

Властивість 2: Якщо один із рядків визначника складається з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.

Властивість 3: Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то його знак змінюється на протилежний.

Властивість 4: Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.

Властивість 5: Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то і визначник помножиться на С.

Властивість 6: Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Властивість 7: Якщо всі елементи будь якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то визначник буде дорівнювати сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок в першому визначнику і другий доданок в другому визначнику.

Властивість 8: Визначник не змінюється, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи будь-якого іншого рядка, попередньо помножені не деяке число.

7. Обернена матриця. Алгоритм оберненої матриці.

Озн. матриця А^-1 називається оберненою матрицею для квадратної невиродженої матриці А, якщо виконується співвідношення: А х А^-1 =А^-1 х А=Е. Для того, щоб квадратна матриця А мала обернену матрицю А^-1 , необхідно і достатньо, щоб матриця А була неособливою, тобто щоб її визначник не дорівнював нулю.

Знаходять обернену матрицю таким чином:

1.

2. Алгебрарічні доповнення , до всіх елементів матриці А.

3. З алгебрарічнихдоповнень сскладають матрицю в яку записують алгебраїчні доповнення не в звичайному порядку, а в транспоновану -

4.