§ 4.6 Движение жидкостей и газов в пластах

При рассмотрении движения жидкостей и газов в пластах, представляющих собой проницаемую среду, инженера интересуют обычно два вопроса: характер изменения давления в точках пласта и на его границах, а в особенности на стенках скважины; расход пластовых флюидов через какие-либо ограничивающие поверхности.

В самом общем случае уравнение движения в неизменяемой пористой среде для жидкостей и газов, подчиняющихся закону Дарси, в прямоугольной системе координат oxyz согласно Л.С.Лейбензону имеет вид

, (4.43)

где k – коэффициент проницаемости пористой среды; р – давление;  – вязкость жидкости или газа; m – пористость среды; – плотность жидкости или газа; g – ускорение свободного падения.

При постоянных проницаемости пласта, вязкости и плотности жидкости (несжимаемая жидкость ) получим уравнение фильтрации несжимаемой жидкости в изотропной пористой среде

. (4.44)

Обратим внимание на тот факт, что в случае без знания вида этой функции для пластов решение уравнений движения невозможно и это усложняет описание большого числа практических задач. В предположении и или получается простое уравнение Лапласа

, (4.45)

решение которого , т.е. определение распределения поля давления, в общем случае содержит две постоянные интегрирования и требует задания двух граничных пространственных условий (уравнение второго порядка).

В этом уравнении давление – лишь функция координат и не зависит от времени, т.е. это случай стационарной фильтрации.

При течении малосжимаемой жидкости, для которой с достаточной точностью

, (4.46)

где _о – плотность при ; _ж – модуль объёмной упругости (сжимаемость) жидкости.

Уравнение движения при и называют уравнением пьезопроводности или упругого режима фильтрации и записывают в виде

, (4.47)

где – коэффициент пьезопроводности пласта, тогда

. (4.48)

В случае деформируемости пористой среды

, (4.49)

где _п – сжимаемость пористой среды (модуль, характеризующий упругость пористой среды); – упругоёмкость пласта.

Полученное уравнение (4.49) называется уравнением пьезопроводности. Оно является аналогом уравнения Фурье, которое было получено им для потока тепла и называется уравнением температуропроводности.

Тогда уравнение пьезопроводности принимает вид

. (4.50)

Решение приведенных уравнений пьезопроводности, т.е. динамическое (во времени) распределение поля давления, содержит уже три постоянных интегрирования и требует задания двух граничных и одного начального (распределение давления в момент ) условий.

При течении в неизменяемой пористой среде с газа, плотность которого является функцией давления и температуры и Л.С. Лей-бензоном было получено уравнение фильтрации в виде

, (4.51)

где – функция Лейбензона.

В частном случае политропического процесса

, (4.52)

где z – коэффициент сверхсжимаемости; n – показатель политропы; R – универсальная газовая постоянная; Т – абсолютная температура.

При изотермическом процессе

, (4.53)

тогда имеем

, (4.54)

Уравнения движения газов в пористой среде нелинейны и решить их можно только в некоторых конкретных случаях при введении определённых упрощений.