Тема 1. Геометричні побудови

При виконанні контурів різних технічних форм доводиться виконувати різні геометричні побудови. У даному розділі розглядаються деякі з них, а саме:

• Сполучення [1 с. 110-115, 9 с. 71-80]

• Овал, еліпс [7 с. 107]

для самостійного вивчення:

• Ухили [7 с. 101-102, 9 с. 43]

• Конусності [7 с. 101-102, 9 с. 44-47]

Сполучення.

Сполучення – це плавний перехід між лініями, прямими або кривими. Виконання сполучень включає знаходження центру сполучення, побудову точок сполучення і проведення сполучаючої дуги.

Центр сполучення – це точка, рівновіддалена від ліній, що сполучаються. Для знаходження центру сполучення будується дві множини або два геометричних місця точок (ГМТ), рівновіддалених на відстані радіусу сполучення від ліній, що сполучаються, і визначається точка їх перетину.

Точки сполучення – це точки дотику сполучаючої дуги з лініями, що сполучаються. З геометрії кола відомо, що така точка повинна знаходитися на перетині перпендикуляра, проведеного з центру сполучення до лінії, що сполучається, якщо лінія, що сполучається, пряма. Якщо лінія, що сполучається, – дуга кола, то точка сполучення визначається на перетині прямої, що єднає центр сполучення і центр дуги, що сполучається, з дугою кола.

Розглянемо наступні можливі види сполучень: двох прямих, прямої лінії з колом або її дугою, двох кіл або їх дуг.

Сполучення двох прямих – рис. 4.

Центр сполучення, (точка Ос) знаходиться на перетині двох допоміжних прямих, проведених на відстані, рівному радіусу сполучення (Rс) від прямих, що сполучаються, і паралельно їм. Точки сполучення А і В знаходяться в перетині перпендикулярів, опущених з центру сполучення Ос на прямі, що сполучаються.

Сполучення прямої лінії з колом радіусу R – рис. 5.

Центр сполучення, точка Ос знаходиться на перетині допоміжної прямої, проведеної на відстані радіусу сполучення Rc від заданої прямої і паралельно їй, з допоміжною дугою кола, проведеного концентрично з колом радіусу R. Радіус допоміжного кола рівний R+Rc (для зовнішнього сполучення) і R-Rc для внутрішнього сполучення. Одна з точок сполучення А знаходиться на перетині лінії центрів ООс з колом, що сполучається, друга – точка В – в підставі перпендикуляра, опущеного з центру сполучення Ос на пряму, що сполучається.

Сполучення двох кіл радіусів R₁ і R₂ – рис. 6.

Тут можливі три випадки:

1. Зовнішнє сполучення (рис. 6а) – дуги, що сполучаються, знаходяться із зовнішнього боку по відношенню до сполучаючої дуги, а точки сполучення є точками перегину. Центр сполучення Ос знаходиться на перетині допоміжних дуг: дуги радіусу R₁+R_c, проведеної з центру О₁ і дуги радіусу R₂+R_c, проведеної з центру О₂. Точки сполучення А і В визначаються на перетині ліній центрів О_сО₁ і О_сО₂ з відповідними дугами, що сполучаються.

2. Внутрішнє сполучення (рис. 6б) – дуги, що сполучаються, знаходяться усередині кола, проведеного радіусом сполучення R_c, а точки сполучення є точками зіткнення. Центр сполучення О_с знаходиться на перетині допоміжних дуг: радіусу R_c-R₁, проведеною з центру О₁ і радіусу R_c-R₂, проведеною з центру О₂. Точки сполучення можуть бути побудовані на перетині ліній, що сполучають центр сполучення О_с з центрами О₁ і О₂ з відповідними дугами, що сполучаються.

3. Змішане (внутрішньо-зовнішнє) сполучення (рис. 6в,г) – одна з трьох дуг, що беруть участь в сполученні (дві дуги, що сполучаються, і ще одна, яка сполучає) знаходиться усередині другої, і утворює з нею точку

Рис. 4
Рис. 5
а)		б )
в)		г)
Рис. 6

сполучення типу точки зіткнення, але із зовнішнього боку третьої дуги, утворюючи з нею точку сполучення типу точки перегину. Центр сполучення Ос знаходиться на перетині дуг: радіусу R_c-R₁ (рис. 6в) або R₁-R_с (рис. 6г), проведеною з центру О₁, і радіусу R_c+R₂, проведеною з центру О₂. Точки сполучення А і В знаходяться на лініях центрів О_сО₁ і О_сО₂ в перетині їх з відповідними дугами, що сполучаються.

Циркульні та лекальні криві.

По способах побудови криві ділять на циркульні та лекальні.

Циркульні криві складаються з дуг кіл, що сполучаються між собою, будують циркулем. Лекальні криві будують по точках, сполучаючи їх за допомогою лекала. Як приклади розглянемо побудову кривих що найбільш часто зустрічаються: овалу (циркульна крива) і еліпса (лекальна крива).

Овал – замкнута опукла плавна крива, що має дві осі симетрії. Сполучення дуг овалу відносяться до внутрішнього типу сполучень дуг кіл. Залежно від початкових даних існує декілька способів побудови овалу [9 с. 81-82]. Розглянемо один з них.

Побудова овалу по двох заданих осях: АВ і CD (рис. 7). Осі овалу взаємно – перпендикулярні і перетинаються в точці О – центрі овалу.

Рис. 7

Проводять лінію АС, що сполучає кінець великої осі овалу з кінцем малої його осі. З центру проводять дугу радіусом R=ОА до перетину дуги з продовженням малої осі в точці К.З точки С як з центру проводять дугу радіусом СК до перетину цієї дуги з відрізком АС в точці L. Потім проводять серединний перпендикуляр до відрізка АL до перетину його з осями овалу в точках О1 і О2. Точки О1 і О2 – центри дуг, утворюючих овал.

На осях овалу будують точки О₃ і О₄, симетричні щодо центру точкам О₁ і О₂. Радіуси дуг, утворюючих овал, – R₁=О₁А=О₃В; R₂=О₂С=О₄D.

Еліпс – замкнута плоска крива, у якої сума відстаней від будь-якої точки кривої до двох точок (фокусів F1 і F2) є величина постійна, рівна довжині великої осі.

Існують різні способи побудови еліпса, зокрема заснований на вищенаведеній властивості точок еліпса. Ми ж розглянемо інший поширений спосіб побудови.

Побудова (рис. 8).

Хай задані: велика вісь еліпса АВ і мала його вісь CD, отже крапки А, В, С, D належать еліпсу. Для побудови проміжних точок з центру еліпса О проводять два допоміжні кола: радіус однієї з них рівний великій півосі ОА, радіус іншої – малій півосі ОС.

Рис. 8.

Велике коло ділять на довільне число однакових частин (наприклад, на 12), а через точки ділення і центр проводять прямі. Ці прямі розділять і мале коло на ту ж кількість рівних частин. Через точки ділення великого кола проводять прямі, паралельні малій осі еліпса СD, а через точки ділення малого кола – паралельні великій осі АВ. Точки перетину відповідних прямих належатимуть еліпсу. Побудовані точки сполучають плавною кривою спочатку від руки, а потім обводять за допомогою лекала.

Питання та задачі для самоконтролю

1. Що називається сполученням?

2. Як розташован центр сполучення від ліній, що сполучаються?

3. Які точки називаються точками сполучення.

4. Якщо О₁ – центр першої дуги, що сполучається,

О₂ – центр другої дуги, що сполучається,

R₁ = 20 – радіус першої дуги, що сполучається,

R₂ = 40 – радіус другої дуги, що сполучається,

R_с = 70 – радіус сполучення

Чому дорівнює відстань О₁О_с, О₂О_с:

а) для зовнішнього сполучення?

б) для внутрішнього сполучення?

5. В чому полягає різниця між еліпсом та овалом, якщо розміри великих і малих осей однакові?

Завдання по темі 1 – «Геометричні побудови»

Виконати креслення на листі креслярського паперу формату А3.

Приклад виконання с. 17

Варіанти завдань с. 18-23