2. Задача распределения средств между предприятиями

Необходимо распределить 120 млн. руб. среди 4-х предприятий таким образом, чтобы общий прирост продукции был максимальным. Прирост выпуска продукции на предприятиях зависит от выделенной суммы. Значения прироста выпуска продукции на предприятиях (I, II, III, IV) приведены в табл.7.

Таблица 7

Средства i в млн. руб.,	Прирост продукции на предприятиях, млн. руб.
выделяемые предприятию	I	II	III	IV
20	9	11	13	12
40	17	33	29	35
60	28	45	38	40
80	38	51	49	54
100	46	68	61	73
120	68	80	81	92

Решение задачи разбивается на шаги по числу предприятий, которым выделяются средства. На 1-м шаге средства выделяются 1-му предприятию, на 2-м шаге оставшиеся средства выделяются 2-м предприятию и т.д. до 4-х предприятий.

За управление принимается i средств, выделяемых предприятиям. За состояние системы – остаток после выделения k-му числу предприятий i средств.

Задачу математически оформим следующим образом.

За шаг k примем число предприятий, получивших средства в размере i (k=1, 2, 3, 4). За состояние Хⁱ_j примем остаток средств (С- i) после выделения j-му предприятию i-х средств, где С=20 млн.руб. За управление примем Uⁱ_j- сумму i, выделяемую j-му предприятию. Прирост продукции на j-м предприятии при выделении ему i-х средств обозначим qⁱ_j (C, Uⁱ_j ). Максимальный прирост продукции при выделении средств k-му числу предприятий обозначим Q_k(C, U). Максимальный общий прирост продукции при выделении предприятиям С млн.руб. обозначим Q (C, U)= max Q_k(C, U).

Рассмотрим следующие варианты распределения средств при различных k(М_к).

При k=1 возможно М₁: U_j¹²⁰. При k=2 возможны М₂: U_j¹⁰⁰ и U_j²⁰; U_j⁸⁰ и U_j⁴⁰; U_j⁶⁰ и U_j⁶⁰. При k=3 возможны М₃: U_j⁴⁰ и U_j⁴⁰ и U_j⁴⁰ ; U_j⁶⁰ и U_j⁴⁰ и U_j²⁰ . При k=4 возможен М₄: U_j⁶⁰ и U_j²⁰ и U_j²⁰ ; U_j²⁰.

Решение. Определим Q_k(C, U) и Q (С, U).

Q₁(C, Uⁱ_j)= max qⁱ_j(С,U_j¹²⁰)=(68, 80, 81, 92)=92 (средства выделены 4-му

Uⁱ_j предприятию).

Q₂(C, Uⁱ_j)= max max qⁱ_j (C, U_j¹⁰⁰) + qⁱ_j (C, U_j²⁰); qⁱ_j (C, U_j⁸⁰) ) + qⁱ_j (C, U_j⁴⁰);

M₂ Uⁱ_j

qⁱ_j (C, U_j⁶⁰) )+ qⁱ_j (C, U_j⁶⁰) = max (86, 87, 85)=87

M₂

(средства выделяются U₄⁸⁰, U₂⁴⁰).

Q₃(С,U)=max max qⁱ_j (C, U_j⁴⁰) + qⁱ_j (C, U_j⁴⁰) + qⁱ_j (C, U_j⁴⁰); qⁱ_j (C, U_j⁶⁰) +

M₃ Uⁱ_j

qⁱ_j (C, U_j⁴⁰) + qⁱ_j (C, U_j²⁰)=max (97, 93)= 97

M₃

(средства выделяются U₂⁴⁰, U₃⁴⁰, U₄⁴⁰).

Q₄(C, U)= max qⁱ_j (C, U_j⁶⁰) + qⁱ_j (C, U_j²⁰) + qⁱ_j (C, U_j²⁰) + qⁱ_j (C, U_j²⁰)=79

Uⁱ_j

(средства выделяются U²⁰_1,3,4 , U₂⁶⁰).

Q(С, U)= max Q_k(С, U)= Q₃(С, Uⁱ_j)=97

Ответ. Оптимальное распределение средств следующее:

U⁰₁ ,U⁴⁰₂ , U⁴⁰₃ , U⁴⁰₄ .