
- •Основы оптимизации процесса управления Критерий качества управления
- •1.1. Математическое описание объекта управления и внешней среды
- •2. Одношаговые задачи управления
- •2.1. Линейное программирование
- •Решение задачи линейного программирования симплекс-методом
- •2.2. Двойственная задача линейного программирования
- •3. Многошаговые процессы управления
- •2. Задача распределения средств между предприятиями
- •3.1. Поиск оптимальной последовательности (цепочки) управлений методом динамического программирования
- •Управление конечным состоянием
- •Методика построения и решения задачи средствами динамического программирования
- •Примеры построения и решения многошаговых задач средствами динамического программирования
- •Построение модели
- •Решение задачи
- •4. Игровые задачи управления
- •4.1. Основы игровых задач
- •Понятие стратегии
- •Верхняя и нижняя цены игры
- •Цены и оптимальные стратегии игр
- •Чистые и смешанные стратегии
- •Верхняя и нижняя цены игры при смешанных стратегиях
- •Нахождение оптимальных стратегий
- •Примеры составления и решения чистых игровых задач
- •Пример решения смешанной игры
- •4.2. Кооперативные игры
- •Методика поиска оптимального дележа
- •Пример кооперативной игры
- •Литература
Примеры построения и решения многошаговых задач средствами динамического программирования
Планируется
производство на 4 месяца. Необходимое
число работников на каждый месяц
известно:
.
Перед началом работ
.
Допустим, что работа j-го
месяца может быть выполнена меньшим
числом работников. Пусть
-
фактическое число работников в k-м
месяце, где k=1,2,3,4.
Затраты на изменение численности
работников при переходе от (k-1)-го
месяца к k-му
определяются по формуле
и в зависимости от знака определяют
найм или увольнение работника. В начальный
момент
.
Отклонение от числа запланированных
работников mj
приводит к дополнительным расходам
.
В начальный момент
.
Необходимо найти такое число работников
в каждом месяце xjk,
чтобы затраты на отклонения от числа
запланированных mi
были минимальными, где j=0,1…, 5- число
возможных работников в k-м
месяце.
Построение модели
Задача разбивается по месяцам на 4 шага ( k=1,2,3,4).
За состояние системы на k-м шаге xjk принимается число работников, в данном месяце, а за управление на k-м шаге -
.
Устанавливается связь состояния xkj с предыдущим состоянием и с управлением в виде
.
По данным предприятия записывается эффективность перехода в каждом k-м месяце
Общая целевая функция имеет вид
.
Строится граф задачи вида.
Uj1
Uj2
Uj3
Uj4
Решение задачи
1. Для поиска условного оптимума запишем уравнение Беллмана на
k-м и 4-м шагах:
Определим условные оптимумы.
1.
Определим условный оптимум на 4-м шаге
.
При этом варьируя переменными xj3
и xj4,
составим таблицу.
x j3 |
x j4
|
qj4
|
Параметры, определяющие min q j4
|
u4
|
||
x3 |
x4 |
|
||||
1
|
0 1 |
18 0 |
1
|
1 |
0
|
0 |
2
|
0 1 2 |
25 7 8 |
2 |
1 |
7 |
-1 |
3
|
0 1 2 |
32 14 15 |
3 |
1 |
14 |
-2 |
Из
таблицы
2.
Определим условный оптимум на 3-м шаге
.
При этом принимая за оптимальное значение
x
j4=1
и варьируя x
j2
и x
j3,
составим таблицу.
x i2 |
x i3 |
qi3 |
Параметры, определяющие min qi3
|
u3
|
||
x2 |
x3 |
|
||||
2
|
0 1 2 3 |
57 29 18 24 |
2
|
2 |
18
|
0 |
3
|
0 1 2 3 |
64 36 25 14 |
3 |
3 |
14 |
0 |
4
|
2 3 4 |
32 21 29 |
4 |
3 |
21 |
-1 |
Из
таблицы
3.
Определим условный оптимум на 2-м шаге
.
Принимая x
j4=1,
x
j3=3
и варьируя x
j1
и x
j2,
составим таблицу:
x j1 |
x j2 |
qj2 |
Параметры, определяющие min q j2
|
u2
|
||
x1 |
x2 |
q2 |
||||
2
|
2 3 4 |
51 46 52 |
2
|
3 |
46
|
+1 |
3
|
2 3 4 |
56 36 42 |
3 |
3 |
36 |
0 |
4
|
2 3 4 |
65 43 32 |
4 |
4 |
32 |
0 |
Из
таблицы
4. Определим условный оптимум на 1-м шаге q j 1 . Т.к. x0=2, варьируя x1, составим таблицу:
x0 |
x1 |
|
u1 |
2 |
2 |
46 |
0 |
2 |
3 |
54 |
+1 |
Из
таблицы
5. Построим ряд безусловных оптимумов:
Затраты
Q(x0,U)=q*1=46
.
Таким образом, для оптимального управления производством необходимо в 1-й месяц использовать нормативное число работников, на 2-м месяце - число работников увеличить на 1, на 3-м месяце - число работников
сохранить, на 4-м месяце - 2-х работников уволить. Первоначальный план позволял выполнить работу с затратами Q(x0,U)=58 ед. налицо экономия в 12 ед.