Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Matematicheskie_osnovy_optimalnogo_upravlenia.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
1.34 Mб
Скачать

Примеры построения и решения многошаговых задач средствами динамического программирования

Планируется производство на 4 месяца. Необходимое число работников на каждый месяц известно: . Перед началом работ . Допустим, что работа j-го месяца может быть выполнена меньшим числом работников. Пусть - фактическое число работников в k-м месяце, где k=1,2,3,4. Затраты на изменение численности работников при переходе от (k-1)-го месяца к k-му определяются по формуле и в зависимости от знака определяют найм или увольнение работника. В начальный момент . Отклонение от числа запланированных работников mj приводит к дополнительным расходам . В начальный момент . Необходимо найти такое число работников в каждом месяце xjk, чтобы затраты на отклонения от числа запланированных mi были минимальными, где j=0,1…, 5- число возможных работников в k-м месяце.

Построение модели

  1. Задача разбивается по месяцам на 4 шага ( k=1,2,3,4).

  2. За состояние системы на k-м шаге xjk принимается число работников, в данном месяце, а за управление на k-м шаге - .

  3. Устанавливается связь состояния xkj с предыдущим состоянием и с управлением в виде .

  4. По данным предприятия записывается эффективность перехода в каждом k-м месяце

  1. Общая целевая функция имеет вид .

  2. Строится граф задачи вида.

Uj1 Uj2 Uj3 Uj4

Решение задачи

1. Для поиска условного оптимума запишем уравнение Беллмана на

k-м и 4-м шагах:

  1. Определим условные оптимумы.

1. Определим условный оптимум на 4-м шаге . При этом варьируя переменными xj3 и xj4, составим таблицу.

x j3

x j4

qj4

Параметры, определяющие min q j4

u4

x3

x4

1

0

1

18

0

1

1

0

0

2

0

1

2

25

7

8

2

1

7

-1

3

0

1

2

32

14

15

3

1

14

-2


Из таблицы

2. Определим условный оптимум на 3-м шаге . При этом принимая за оптимальное значение x j4=1 и варьируя x j2 и x j3, составим таблицу.

x i2

x i3

qi3

Параметры, определяющие min qi3

u3

x2

x3

2

0

1

2

3

57

29

18

24

2

2

18

0

3

0

1

2

3

64

36

25

14

3

3

14

0

4

2

3

4

32

21

29

4

3

21

-1


Из таблицы

3. Определим условный оптимум на 2-м шаге . Принимая x j4=1, x j3=3 и варьируя x j1 и x j2, составим таблицу:

x j1

x j2

qj2

Параметры, определяющие min q j2

u2

x1

x2

q2

2

2

3

4

51

46

52

2

3

46

+1

3

2

3

4

56

36

42

3

3

36

0

4

2

3

4

65

43

32

4

4

32

0


Из таблицы

4. Определим условный оптимум на 1-м шаге q j 1 . Т.к. x0=2, варьируя x1, составим таблицу:

x0

x1

u1

2

2

46

0

2

3

54

+1


Из таблицы

5. Построим ряд безусловных оптимумов:

Затраты Q(x0,U)=q*1=46 .

Таким образом, для оптимального управления производством необходимо в 1-й месяц использовать нормативное число работников, на 2-м месяце - число работников увеличить на 1, на 3-м месяце - число работников

сохранить, на 4-м месяце - 2-х работников уволить. Первоначальный план позволял выполнить работу с затратами Q(x0,U)=58 ед. налицо экономия в 12 ед.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]