Примеры построения и решения многошаговых задач средствами динамического программирования

Планируется производство на 4 месяца. Необходимое число работников на каждый месяц известно: . Перед началом работ . Допустим, что работа j-го месяца может быть выполнена меньшим числом работников. Пусть - фактическое число работников в k-м месяце, где k=1,2,3,4. Затраты на изменение численности работников при переходе от (k-1)-го месяца к k-му определяются по формуле и в зависимости от знака определяют найм или увольнение работника. В начальный момент . Отклонение от числа запланированных работников m_j приводит к дополнительным расходам . В начальный момент . Необходимо найти такое число работников в каждом месяце x^j_k, чтобы затраты на отклонения от числа запланированных m_i были минимальными, где j=0,1…, 5- число возможных работников в k-м месяце.

Построение модели

1. Задача разбивается по месяцам на 4 шага ( k=1,2,3,4).

2. За состояние системы на k-м шаге x^j_k принимается число работников, в данном месяце, а за управление на k-м шаге - .

3. Устанавливается связь состояния x_k^j с предыдущим состоянием и с управлением в виде .

4. По данным предприятия записывается эффективность перехода в каждом k-м месяце

5. Общая целевая функция имеет вид .

6. Строится граф задачи вида.

U^j₁ U^j₂ U^j₃ U^j₄

Решение задачи

1. Для поиска условного оптимума запишем уравнение Беллмана на

k-м и 4-м шагах:

1. Определим условные оптимумы.

1. Определим условный оптимум на 4-м шаге . При этом варьируя переменными x^j₃ и x^j₄, составим таблицу.

x j3	x j4	qj4	Параметры, определяющие min q j4			u4
			x3	x4
1	0 1	18 0	1	1	0	0
2	0 1 2	25 7 8	2	1	7	-1
3	0 1 2	32 14 15	3	1	14	-2

Из таблицы

2. Определим условный оптимум на 3-м шаге . При этом принимая за оптимальное значение x ^j₄=1 и варьируя x ^j₂ и x ^j₃, составим таблицу.

x i2	x i3	qi3	Параметры, определяющие min qi3			u3
			x2	x3
2	0 1 2 3	57 29 18 24	2	2	18	0
3	0 1 2 3	64 36 25 14	3	3	14	0
4	2 3 4	32 21 29	4	3	21	-1

Из таблицы

3. Определим условный оптимум на 2-м шаге . Принимая x ^j₄=1, x ^j₃=3 и варьируя x ^j₁ и x ^j₂, составим таблицу:

x j1	x j2	qj2	Параметры, определяющие min q j2			u2
			x1	x2	q2
2	2 3 4	51 46 52	2	3	46	+1
3	2 3 4	56 36 42	3	3	36	0
4	2 3 4	65 43 32	4	4	32	0

Из таблицы

4. Определим условный оптимум на 1-м шаге q ^j ₁ . Т.к. x₀=2, варьируя x₁, составим таблицу:

x0	x1		u1
2	2	46	0
2	3	54	+1

Из таблицы

5. Построим ряд безусловных оптимумов:

Затраты Q(x₀,U)=q^*₁=46 .

Таким образом, для оптимального управления производством необходимо в 1-й месяц использовать нормативное число работников, на 2-м месяце - число работников увеличить на 1, на 3-м месяце - число работников

сохранить, на 4-м месяце - 2-х работников уволить. Первоначальный план позволял выполнить работу с затратами Q(x₀,U)=58 ед. налицо экономия в 12 ед.