
- •В.А.Чащин технология испытаний механизмов приводов
- •Технология испытаний механизмов приводов
- •1. Испытания приводов
- •1.1. Общие положения
- •1.2. Некоторые понятия математической статистики
- •1.3. Определение параметров функций по экспериментальным данным
- •1.4. Метод наименьших квадратов
- •1.5. Применение метода наименьших квадратов при аппроксимации апериодических зависимостей.
- •1.6. Сплайновая и эрмитова интерполяция.
- •1.7. Полиномальная регрессия для табличных данных
- •2. Характеристики средств измерения
- •Погрешность отсчета
- •3.1. Полная абсолютная погрешность прямых измерений
- •Запись окончательного результата прямого измерения
- •3.3. Погрешности косвенных измерений
- •Обработка результатов прямого измерения
- •4. Технические паспорта изделий
- •4.1. Технический паспорт газового привода.
- •4.2. Технический паспорт гидропривода.
- •5. Типовые схемы испытаний
- •5.1. Статические характеристики
- •5.2. Скоростная характеристика.
- •5.3. Потенциометры
- •5.4. Приборы для измерения скорости. Тахогенератор.
- •Тахогенераторы постоянного тока.
- •Синхронные тахогенераторы.
- •Асинхронные тахогенераторы.
- •5.5. Измерение линейных перемещений
- •5.5. Силовая характеристики.
- •5.6. Манометры
- •Разновидности манометров:
- •5.7. Механическая характеристика.
- •5.8. Определение расхода
- •5.9. Ротаметры Ротаметр — прибор для определения объёмного расхода газа или жидкости в единицу времени.
- •Достоинства ротаметров:
- •Недостатки
- •Автоматизированные ротаметры.
- •Датчик массового расхода воздуха Устройство
- •Применение
- •6.1. Динамические характеристики
- •6.2. Расшифровка результатов испытаний
- •6.3. Стенд
1.6. Сплайновая и эрмитова интерполяция.
Сплайновая интерполяция выполняется по трем ближайшим точкам, причем эти тройки точек постепенно перемещаются от начала к концу массива точек, каждый раз сдвигаясь на одну точку. Кроме того непрерывность первой и второй производных при сплайновой интерполяции делает кривую очень плавной. Сплайновая интерполяция выполняется аналогично построению кривой при черчении по лекалу.
Методы аппроксимации функций с помощью сплайнов, предложенные впервые в 40-х годах, получили широкое распространение только в последнее время.
Основной недостаток интерполяционных многочленов как аппарата приближения функций, применяемого для восстановления дискретизированных сигналов, состоит в том, что поведение этих многочленов в окрестности какой-либо точки определяет их поведение в целом. Если исследуемый сигнал на разных участках ведет себя по-разному, например на одном участке постоянен, а затем круто убывает или возрастает и т.д., использование интерполяционных многочленов хороших результатов не дает. В таких случаях лучше пользоваться сплайнами.
Английское слово spline означает «упругая рейка». Такую рейку используют в качестве гибкого лекала при вычерчивании плоских кривых по опорным точкам.
Основная идея применения сплайнов состоит в следующем. Интервал, на котором восстанавливают функцию, разбивают на подинтервалы, на каждом из которых функцию задают полиномом достаточно низкой степени и обеспечивают непрерывность кривой в точках “склейки” путем приравнивания значений полиномов на границах подинтервалов. На рисунке выше приведен пример сплайновой интерполяции приведенных данных, она ближе всего отображает график исходной зависимости, но не имеет аналитического выражения.
На рисунке приведен пример особенности сплайновой интерполяции. Если задано n точек, то при полиномальной аппроксимации получим, даже при высоком порядке полинома, некоторую кривую, которая прорезает заданный массив точек (толстая линия на графике). Если применить сплайновую аппроксимацию, то получаем кривую отображающую характер расположения точек на плоскости. Причина разницы кроется в особенности сплайновой интерполяции – она выполняется по трем ближайшим точками и эти тройки точек постепенно перемещаются.
MATLAB дает возможность в графическом окне использовать еще один вид интерполяции на основе полиномов третей степени Эрмита. Сплайн Эрмита — сплайн, построенный из многочленов в форме Эрмита. Наиболее распространён кубический сплайн Эрмита. Принцип интерполяции тот же, что и при сплайновой интерполяции. Полиномы Эрмита имеют более гибкие линии, чем сплайны. Они точнее следуют за отдельными изгибами исходной зависимости.
Шарль Эрми́т (фр. Charles Hermite; 24 декабря 1822, Дьёзе, Лотарингия, Франция — 14 января 1901, Париж, Франция) — французский математик.
Основные работы в теории чисел, теории квадратичных форм, теории нвариантов, ортогональных нвариантов, ортогональных многочленов, эллиптических функций и в алгебре.
Наиболее известным его учеником был Анри Пуанкаре.
Эрмит показал, что число e (основание натурального логарифма) является трансцендентным.
Эти два подхода нельзя называть полноценной интерполяцией, поскольку в данном случае нет единого выражения для всей совокупности аппроксимирующих точек. На каждом отрезке используется кубический полином с новыми коэффициентами. Поэтому и вывода аппроксимирующей функции в поле графика (в MATLABе) не предусмотрено.
Эрмитова интерполяция лучше отслеживает быстрые изменения исходных данных, но имеет худшие сглаживающие свойства.
Можно сформулировать следующую практическую рекомендацию. Если у вас имеется достаточно большой массив экспериментальных точек на плоскости, то для выбора аппроксимирующей зависимости целесообразно предварительно провести сплайновую или эрмитову интерполяцию для общей оценки экспериментальной зависимости для последующей аналитической интерполяции.