2.2.Геометричні задачі, які розв’язуються на основі деяких теорем
Теорема 1.
Добуток двох додатніх множників, сума яких стала, має найбільше значення при рівності множників (якщо множники можуть приймати однакові значення)
Доведення: 1. Нехай х + у = 2а. При х1 = у1 = а добуток х1 у1 = а2.
Покажемо,
що добуток х2у2,
де х
= а , у2
= а ,
менше а2.
Нехай х2 = а + в, тоді у2 = а – в; х2у2 = а2 – в2. Отже х2у2 < x1y1.
2.
Розглянемо тотожність ху
=
[ ( x + y )2
– ( x – y )2
].
При х + у = const добуток ( ху) має найбільше значення при
найменшому значенні ( х – у )2, тобто х – у = 0 при х = у
3. Геометричне доведення:
Побудуємо на АВ = 2а = х + у півколо, як на діаметрі
При
ОС
= х1
= у1
= а маємо:
ОС2
= АО ВО = а2
При
х
= у ,
нехай х2
=
АD,
тоді у2
= DB
х2 у2 = АD DB = DF2, DF < OC,
тому
що DF
– пів хорда, а
ОС –
радіус.
Узагальнимо теорему: Добуток двох множників х і у, пов’язаних відношенням
mx + ny = 2a, де m i n – додатні числа, буде найбільшим
при
mx
= ny = a,
тобто при х
=
і
у
=
.
При ху, що має найбільше значення, найбільше значення
має і mnxy , а так як mx + ny постійне, то mx = ny = a.
Задача 1
Плоска фігура складається з прямокутника і рівностороннього трикутника.
Визначити її розміри так, щоб при даному периметр площа була найбільшою
( в рахунок периметра не входить спільна сторона прямокутника і трикутника).
Розв’язання:
1.
х
– сторона трикутника;
2. у – сторона прямокутника;
3.
Периметр Р
= 3х + 2у; = > у =
;
4.
Площа: Sn
= х у –
прямокутника
Sт=
- площа рівностороннього трикутника
5.
S
= ху +
х2
S
= х
+
х2
=
=
[ 2р – х( 6 -
)] ;
Значення х2, при якому площа S буде найбільшою
визначають
з рівняння:
(
6 -
)х
= 2р – ( 6 -
)х
2х( 6 - ) = 2р
у
=
=
=
=
, де
= х
Відповідь: При розмірах х = ; у = площа буде найбільшою при заданому периметру
Теорема 2
Сума двох додатніх чисел, добуток яких сталий, має найменше значення при рівності доданків.
Доведення:
1). Дано: ху
= а2.
Довести х
+ у
2a
При
х
у,
сума
х + у > 2a. Нехай
х
= а + в,
тоді у
=
;
у
> a – в.
Тоді х + у 2a. При х = у одержимо х + у = 2а.
2). Розглянемо тотожність: (x + y)2 =(x – y)2 +4xy
(x + y) має найменше значення при x – y = 0
3). Геометричне доведення:
Нехай xy = a2
Будуємо коло радіуса а.
При
x
= y
будемо мати
x + y = 2a , при x y : ОЕ OF = a2
OE
+ OF = EF
EF > 2a , бо EF – діаметр,
а 2а – хорда нового кола.
Задача 1
Дано прямокутник ABCD , в якому AB = a , AD = b. Із вершини А провести січну AEF ( F – точка перетину січної з продовженням DC ) так, щоб сума BE + CF була найменшою.
Розв’язання:
Побудуємо точку E :
Продовжуємо AB на відрізок ВК = а і на АК,
як
на діаметрі, будуємо півколо до перетину
у точці Е з стороною ВС. При а < b точка Е
лежить всередині відрізка ВС (АВ = а, АD = в )
При а > b точка Е лежить на продовженні ВС
АВ
= ВС то
точка
Е співпадає
з вершиною С
У квадраті шуканою прямою є діагональ АС.
Нехай ВЕ = x , CF = y, CE = b – x
Р
озглянемо
АВС
і FCE:
AEB
=
FEC
,
як вертикальні,
В
= 900
,
С
= 900.
О
тже,
АВЕ
FCE (
за гострими кутом – ознака подібності
прямокутних трикутників)
І з подібності ABE i FCE випливає пропорційність сторін
=
=
або
=
або
=
=>
y =
=
-
a
x + y = x + - a
Сума ( x + y) буде найменшою, якщо x = , а добуток x = const ;
x2
= ab
=>
x
=
Теорема 3
Якщо
сума декількох додатніх змінних Х,
У, Z
стала і дорівнює а,
то добуток Xp,
Уq,
Zr,
де
p,
q, r
– дані додатні числа, має найбільше
значення у тому випадку, коли змінні
пропорційні своїм показникам, тобто
коли
=
=
,
якщо Х,
У, Z
можуть задовольнятися цим умовам.
Доведення:
Нехай p, q, r – дані цілі числа. При цих значеннях Х, У, Z, при яких добуток Хp, Уq, Zr досягає найбільшого значення, найбільшим буде і ( )р ( )q ( )r
Добуток цей складається із p + q + r множників, сума яких стала і дорівнює а, так як
+ +… + = p = Х
+ +… + = q = У
+ +… + = r = Z
Маємо = = = ( на основі добутку декількох достатніх
змінних множників, сума яких стала, досягає найбільшого значення при рівності множників, якщо можна множники зробити рівними)
На основі властивостей рівних відношень маємо:
=
=
=
=
X
=
;
Y
=
;
Z
=
.
Нехай показники p, r, q - числа дробові. Після зведення до спільного знаменника, одержимо
p
=
;
q
=
;
r
=
.
Шуканий добуток Х У Z досягає найбільшого значення при найбільших величинах Х , У , Z , а цей вираз має найбільше значення при
=
=
або
=
=
=>
=
=
Задача 1.
Який із всіх рівнобедрених трикутників, вписаних у дане півколо так, щоб одна із рівних сторін лежала на діаметрі, а друга була б хордою, має найбільшу основу?
Нехай шуканий трикутник є АВС ( АВ = АС = Х,
ВС
= У).
Проводимо ВD
АС.
Знайдемо, що
y2
= 2х2
– 2х АD,
але АD
=
y2
= 2х2
– 2х
= 2х2
-
=
Сума ( х2 + 2R – x) – стала; добуток ( х2 ( 2R – x ) ) має найбільше значення при
=
=> х = 4R – 2x => 3x = 4R => x =
R
Трикутник, у якого сторона дорівнює R має найбільшу основу
Теорема 4.
Середнє геометричне декількох величин не більше їх середнього арифметичного
Якщо
х1
+
х2
+ … + хm
= ma,
то х1х2х3…
хm
am
Отже,
х1х2…хm
(
)m
;
;
Наслідок: Сума m додатніх змінних, добуток яких сталий, має найменше значення при рівності змінних.
Нехай х1 х2 … хm= bm, тоді на основі описаної нерівності маємо
b . x1 + x2 + x3 + … + xm > mb. Знак нерівності має місце тоді, коли x1 = х2 = … = хm
Задача 1.
Знайти висоту циліндра найбільшого об’єму, який можна вписати в даний прямий конус.
Розв’язання
Нехай:
АС
= r
і ВС
= h
Об’єм циліндра: V = П х2у, де у = КС, х = DК
Розглянемо
АВС
і
DВК
АВС
DВК
(
D
=
А
при паралельних
прямих DК і АС і січній АD )
Із подібності випливає пропорційність сторін :
;
ВК
= h – у
; х =
= > V
= Пх2у
;
V =
у.
Об’єм
має найбільше значення при найбільшому
значенні добутку (
h – у )2
у
або при
у
Сума
множників :
+ у
= h
– стала. Отже, найбільше значення
об’єму при
= у, то у =
.