3.3.3. Логическое следование

Интерпретация логических союзов, предлагаемая Витгенштейном, показывает, что предложения находятся во внутренних отношениях, т.е. в таких отношениях, которые можно выявить наблюдением за самими знаками. Это имеет определяющее значение для надлежащей интерпретации тех взаимосвязей, которые всегда считались для логики основными и, в некоторой степени, инициировали её как науку. Прежде всего, здесь подразумевается отношение логического следования. При всех различиях в объяснениях этого отношения можно зафиксировать нечто общее. Используя слово 'следовательно', всегда имеют в виду наличие определённой связи различных предложений, где одни выводятся из других. Относительно характера такой связи возникает вопрос, следует ли одно предложение из других с необходимостью, определённой степенью вероятности, или вывод отсутствует вовсе? Возможность подстановки слова 'следовательно' фиксирует характер выражения этой связи. Проиллюстрируем последнее примером.

Возьмём два умозаключения, в которых устанавливается следующая связь предложений: 1. "Идёт дождь со снегом. Следовательно, идёт дождь или идёт снег"; 2. "Идёт дождь со снегом. Следовательно, нет ни дождя, ни снега". Здесь возникает вопрос о том, насколько в первом и втором случае обоснована подстановка слова 'следовательно'. Почему в первом умозаключении допускается переход от первого предложения ко второму, а во втором - нет? Что лежит в основании установления подобной связи? Чем регулируется возможность получения второго предложения из первого? Логики всегда отвечали на эти вопросы единообразно: Возможность подстановки слова 'следовательно' связана с особенностями формы. Обратимся, например, к Расселу. Форма предложения "Идёт дождь со снегом" представима следующим образом: 'p ? q', а предложений "Идёт дождь или идёт снег" и "Нет ни дождя, ни снега" - 'p?q' и '?p ? ?q' соответственно. Достоверность первого умозаключения связана с достоверностью перехода от 'p ? q' к 'p?q', а недостоверность второго умозаключения связана с невозможностью перейти от 'p ? q' к '?p ? ?q'. Если задаться вопросом "почему?", то Рассел предлагает следующий ответ: Потому что '(p ? q) ? (p?q)' является законом логики, а '(p ? q) ? (?p ? ?q)' - нет. Законы логики как раз и оправдывают вывод. Таким образом, вопрос о наличии логического следования относительно некоторого набора предложений сводится к вопросу о том, является ли логическим законом предложение, которое из них построено. Последний же решается в рамках логистической системы типа Principia Mathematica, где ряд логических законов задаётся в качестве аксиом, а все остальные законы выводятся из них.

Представим это в общем виде. Обозначим логическое следование знаком '??'. Пусть {?} представляет собой произвольную совокупность предложений. На этой совокупности можно определить отношение '??', которое говорит о возможности перехода от любого подмножества {?} к другому подмножеству этого же множества. Пусть 'P{?}' - совокупность всех подмножеств множества {?}, а {?} множество тех предложений, образованных из элементов 'P{?}' (например, способом, приведённым в указанном выше примере), которые являются логическими законами. Тогда любая знаковая система представляет собой структуру <P{?}; {?}>, где {?} задаёт отношение '??' на {?}. Итак, множество {?} - это совокупность законов логического вывода, но о чём могут говорить эти законы? Поскольку от содержания предложений мы отвлекаемся, они могут говорить только о свойствах '?', '?', '?' и т.д. Эти законы говорят о том, как предложения, построенные с помощью одних логических союзов, связаны с предложениями, которые построены с помощью других логических союзов. Свойства логических союзов могут быть систематизированы, если выявить принцип, который позволял бы из базовых свойств логических союзов выводить все другие свойства. Это означает, что множество {?} подлежит иерархии. Есть основные законы, из которых выводимы все производные. Именно таким образом строят свои логистические системы Фреге и Рассел.

Что лежит в основании такого подхода? Логическое следование трактуется как внешнее отношение, ориентированное на свойства специфических логических объектов. Действительно, по внешнему виду '?', '?', '?' нельзя судить о характере тех отношений, в которых они находятся. Представление о том, что им соответствуют различные логические объекты, требует дополнительных средств, позволяющих связывать логические союзы друг с другом.

Нетрудно, однако, заметить, что дело здесь затемнено применяемой системой записи. Ведь если для выражения логических взаимосвязей использовать, например, штрих Шеффера, связь между предложениями становится очевидной уже из самого знака [5.1311]. И хотя такой способ записи не проясняет окончательно существа дела, тем не менее он наглядно демонстрирует, что предложения находятся во внутренних отношениях, которые могут быть установлены наблюдением за самими знаками.

Именно по этому пути идёт Витгенштейн. Отношение логического следования не характеризует свойства особых логических констант, поскольку таковых нет. Раз логические союзы есть способ выражения внутренних отношений предложений, то и логическое следование тоже сводится к таковым. Вопрос о том, следует ли одно предложение из другого, должен решаться по виду самих этих предложений. Как говорится в ЛФТ, "если истинность одного предложения следует из истинности других, то это выражается посредством отношений, в которых находятся между собой формы этих предложений; и нам не нужно их в эти отношения, связывая предварительно друг с другом в одно предложение, так как эти связи являются внутренними и существуют постольку, и лишь постольку, поскольку существуют эти предложения" [5.131]. Другими словами, для установления отношения ?? в рамках множества {?} не требуется никакого дополнительного множества {?}. Поскольку если предложения записаны надлежащим образом, то внешний вид знаков и так показывает, находятся эти предложения в соответствующем отношении или же нет. Об этом позволяют судить полюса предложений присутствующие в самом знаке. Возьмём, например, правило вывода modus ponens, которое говорит, что из предложений 'p ? q' и 'p' логически следует предложение 'q', и представим знаки предложений в табличной записи:

p

q

?

p

q

И

И

И

И

И

Л

И

И

Л

И

И

Л

Л

И

Л

Л

Л

И

Л

Л

(таб.9)

Из этой записи видно, что в случае истинности как 'p ? q', так и 'p' (первая строчка) 'q' также является истинным. Отсюда можно следующим образом ввести понятие логического следования. Если какое-то предложение обязательно истинно в тех случаях, когда истинны какие-то другие предложения, то это первое логически следует из вторых [5.11; 5.12; 5.121]. Нетрудно заметить, что подобным образом вопрос о логическом следовании решается для любых предложений. Вернёмся, скажем, к примеру с предложениями 'p ? q', 'p?q' и '?p ? ?q'. В записи Витгенштейна они примут вид '(И- - -)(p, q)', '(ИИИ -)(p, q)' и '(- - -И)(p, q)' соответственно. Запись показывает, что в случае истинности первого предложения второе истинно, а третье - нет. Значит, второе предложение логически следует из первого, а третье - нет. Поскольку нотация Рассела легко переводима в табличную запись, при таком подходе не имеет значения тот факт, из каких логических союзов построены предложения.

Самое интересное в этом то, что при характеристике логического следования не приходится апеллировать ни к каким логическим законам. При установлении того, что из 'p ? q' и 'p' следует 'q', нам не потребовалось доказывать, что '((p ? q) ? p)) ? q' - закон логики. Возможность вывода была установлена из самих знаков. Отсюда следует, что "'законы вывода', которые должны - как у Фреге и Рассела - оправдывать выводы, не имеют смысла и были бы излишни" [5.132]. Они не имеют смысла как раз потому, что пытаются сказать то, что и так видно, когда смотришь на знаки предложений.

Специфика внутренних отношений позволяет, ориентируясь только на то, что показано самими знаками, установить ряд свойств логического следования, которые в нотации Рассела-Фреге требовали дополнительных доказательств. К таковым относятся: 1. Ни одно элементарное предложение не следует ни из какого другого элементарного предложения [5.134], поскольку, как показывает таблица 1, их условия истинности хотя бы один раз противоположны. 2. Если два предложения следуют друг из друга, то они являются одним и тем же предложением [5.141], поскольку в этом случае, как показывают таблицы 4 и 6, их истинностные возможности совпадают. 3. Если для двух предложений нельзя указать третье, которое выводилось бы как из первого, так и из второго, значит, первое и второе предложения противоречат друг другу [5.1241]. Это видно из того, что в этом случае условия истинности таких предложений всегда будут противоположны. 4. Тавтология следует из любого предложения [5.142], а любое предложение следует из противоречия, поскольку, как показывает таблица 5, у тавтологии всегда найдётся вариант, при котором её истинность будет совпадать с истинностью произвольного предложения, а противоречие не требует от предложения, чтобы оно в каком-то определённом случае было истинным.

Из знаков можно установить не только наличие вывода одного предложения из другого, но и его отсутствие. Например, из тавтологии не следует противоречие. Однако наличие и отсутствие логического следования являются лишь крайними случаями из той гаммы отношений, которая предоставлена нам формальным рядом. Из таблицы 3 можно легко подобрать комбинации, не удовлетворяющие ни тому, ни другому. Что же характеризуют эти комбинации? Поскольку каждое предложение показывает, какое место оно оставляет факту [4.463], постольку можно задаться вопросом, насколько это место совместимо с местом, которое факту оставляет другое предложение. В случае логического следования одно предложение оставляет полную свободу другому предложению, в случае отсутствия - одно предложение полностью ограничивает другое. Но возможно и частичное ограничение. В этом отношении одно предложение выступает мерой вероятности той свободы, которую факту оставляет другое предложение, т.е. одно предложение может ограничивать условия истинности другого предложения. Здесь возникает ещё одно понятие - вероятность.