3.3. Знаковая система: Логика предложений

Элементарные предложения и их структура - это минимальный предел логического анализа. Но знаковая система ими не исчерпывается. Язык включает более сложные образования, которые содержат элементарные предложения в качестве своих конституент. Однако Витгенштейн даёт такое объяснение сущности всякого описания мира, которое не требует новых элементов. Здесь наследуется то отношение к элементарным предложениям, которое было сформулировано уже в Заметках по логике: "Введение элементарных предложений является основополагающим для понимания всех других видов предложений" [4.411].

Эта идея основана на понимании характера логического пространства. Определяя свой подход к анализу неэлементарных предложений, Витгенштейн говорит: "Возможность предложения основывается на принципе замещения предметов знаками. Моя основная мысль заключается в том, что "логические константы" ничего не замещают. Что логику фактов нельзя заместить" [4.0312]. Предложения изображают состояния дел в логическом пространстве, т.е. с точки зрения их возможной связи друг с другом. Но сами эти связи собственного значения не имеют; их роль исчерпывается внутренними отношениями между предложениями, когда указывается логическое место последних. Предложения замещают факты в логическом пространстве, но само пространство не может быть замешено. Логическое пространство не изображается; оно показано внутренними отношениями предложений. Нужно только создать адекватную систему записи, которая бы демонстрировала, что так называемые 'логические константы' ничего не обозначают и такая запись в ЛФТ представлена.

3.3.1. Знак предложения

То, каким образом в новой записи конструируются знаки предложений, предварим несколькими общими соображениями. Каждое элементарное предложение отображает некоторое состояние дел. При этом "если элементарное предложение истинно, соответствующее состояние дел существует, если же оно ложно, то такого состояния дел нет" [4.25]. Поскольку совокупность всех существующих состояний дел есть мир [2.04], постольку "указание всех истинных элементарных предложений полностью описывает мир" [4.26]. Но в компетенцию логики не входит вопрос о том, какие именно элементарные предложения истинны. Относительно каждого элементарного предложения можно лишь констатировать возможность существования или несуществования соответствующего состояния дел. Именно эта возможность определяет наличие у предложения двух полюсов - истины и лжи, т.е. предложение, вне определённого конкретным опытом его отношения к действительности, может быть как истинным, так и ложным.

С каждым состоянием дел соотнесено две возможности: его существование и его несуществование. Если действительность состоит из n числа состояния дел, тогда, для n числа событий таких возможностей будет 2n. Возьмём теперь произвольное элементарное предложение p. Соответствующее ему состояние дел может как существовать, так и не существовать. Эти два варианта образуют истинностные возможности предложения p. При реализации первой оно будет истинным, при реализации второй - ложным. Двум произвольным предложениям p и q будет соответствовать возможность существования и несуществования двух состояний дел. Различная комбинация этих возможностей даёт четыре варианта: оба состояния дел существуют; первое состояние дел не существует, но существует второе; существует первое, но не существует второе; оба состояния дел не существуют. Указанные четыре варианта образуют четыре возможности истинности предложений p и q. В общем случае, поскольку существование и несуществование состояний дел указывают на истинностные возможности элементарных предложений, соответственно, возможностей истинности n элементарных предложений будет 2n. Если взять одно предложение p, то оно может быть истинным и ложным (т.е. 21=2), если взять два предложения p и q, то здесь возможны четыре варианта (т.е. 22=4), а именно: оба предложения истины; первое - истинно, второе - ложно; первое - ложно, второе - истинно; наконец, оба ложны. Для трёх предложений (скажем p, q, r) возможностей будет восемь и т.д.

Удобная запись таких вариантов предоставляется предложенными Витгенштейном таблицами истинности. Например, для одного, двух и трёх предложений они будут выглядеть следующим образом:

p

p

q

p

q

r

И

И

И

И

И

И

Л

Л

И

Л

И

И

И

Л

И

Л

И

Л

Л

Л

Л

И

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

Л

Л

Л

Л

(таб.1)

Здесь 'И' и 'Л' означают истину и ложь соответственно, а каждая строчка, идущая под элементарными предложениями, - одну из истинностных возможностей.

Каждая из истинностных возможностей, в свою очередь, может быть как согласована, так и не согласована с возможностями существования соответствующих состояний дел относительно аналогичной согласованности каждой другой истинностной возможности. Одним из вариантов такого согласования может, например, быть случай, когда согласована истинностная возможность, при которой все элементарные предложения истинны, и не согласованы все другие возможности, или случай, когда эта же возможность не согласована, но согласованы все другие, и т.д.

С точки зрения возможной согласованности и несогласованности Витгенштейн вводит общее понятие предложения: "Предложение есть выражение согласования и несогласования с возможностями истинности элементарных предложений" [4.4]. Например, предложение, построенное из элементарных предложений p и q, выражает возможность согласования и несогласования любой из четырёх истинностных возможностей для p и q, учитывая при этом возможность согласования или несогласования каждой из остальных трёх возможностей. Поскольку для n элементарных предложений имеется 2n истинностных возможностей, каждая из которых допускает возможность согласования и несогласования относительно возможности согласования и несогласования каждой другой истинностной возможности, всего имеется (22)n возможностей согласования и несогласования. Для одного элементарного предложения p таких возможностей будет 4, для двух элементарных предложений p и q - 16 и т.д. Эти возможности легко упорядочить. Если для удобства обозначить согласование и несогласование 'И' и 'Л' соответственно, то варианты для одного элементарного предложения p результируются в таблице 2:

1

2

3

4

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

(таб.2)

Варианты для двух элементарных предложений p и q предоставляет таблица 3:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

И

И

И

И

И

И

И

И

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

И

И

И

И

Л

Л

Л

Л

И

И

И

И

Л

Л

Л

Л

И

И

Л

Л

И

И

Л

Л

И

И

Л

Л

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

Л

(таб.3)

Каждый из столбцов этих таблиц можно рассматривать как указание на одну из возможностей согласования и несогласования соответствующих истинностных возможностей. Например, истинностные возможности для двух предложений p и q, представленные в таблице 1, могут быть сопоставлены с любым столбцом из таблицы 3. Если, скажем, взять третий столбец, то в этом случае согласованы все истинностные возможности элементарных предложений p и q за исключением той, при которой p - истинно, а q - ложно. Выразить это обстоятельство можно следующим образом:

p

q

И

И

И

Л

И

И

И

Л

Л

Л

Л

И

(таб.4)

Здесь каждая строчка двух первых столбцов выражает истинностные возможности p и q, а третий столбец - их согласование и несогласование. Учитывая приведённое выше определение [4.4], таблица 4 есть не что иное, как знак некоторого предложения. Этот знак как раз и выражает как именно согласованы и не согласованы истинностные возможности p и q. Согласованность и несогласованность истинностных возможностей p и q представляют собой условия истинности предложения построенного из p и q. Можно сказать, что предложение, знак которого представлен в таблице 4, истинно при истинности p или ложности q и ложно при ложности q и истинности p. Обобщая, получаем: "Выражения согласования и несогласования с возможностями истинности элементарных предложений выражают условия истинности предложения" [4.431]. Отсюда вытекает общее определение предложения: "Предложение есть выражение своих условий истинности" [4.431].

Для правильного понимания таблицы 4 необходимо учесть, что она является целостным знаком, компоненты которого не имеют собственного значения. 'И' и 'Л' не обозначают никаких предметов, а служат лишь выражением, во-первых, истинностных возможностей, а также, согласованности и несогласованности, во-вторых. В этом отношении они играют роль меток, не имеющих собственного значения, но являющихся частью целостного знака. Если согласованность истинностных возможностей можно выразить иным способом, то наличие определённого количества и расположение 'И' и 'Л' не имеет никакого значения. Поэтому, не изменяя существа дела, знак, изображённый таблицей 4, можно представить в другом виде. Например, если последовательность истинностных возможностей p и q закреплена однозначно (так, как это имеет место в таблице), то условия истинности рассматриваемого предложения можно выразить знаком '(ИИЛИ)(p, q)', где последовательность 'И' и 'Л' в первой скобке заменяет третий столбец таблицы. Или же, отмечая отсутствие согласования простым пропуском 'И', данному знаку можно придать вид: '(ИИ-И)(p, q)'.

Использование условий истинности при введении предложений не является изобретением Витгенштейна. Указание на такие условия использовал уже Г.Фреге при объяснении выражений своего шрифта понятий. Например, таблица 4 соответствует тому, как объясняется '?? p?q'[164]. Отталкиваясь от этого, можно установить аналогию между объяснениями выражений знакового языка у Фреге-Рассела и знаками предложений, используемыми в ЛФТ. К этой аналогии мы вернёмся ниже. Необходимо, однако, заметить, что новация Витгенштейна в том, что таблицу 4 он рассматривает не как объяснение, а именно как знак предложения[165]. Предположение о том, что таблицы истинности есть просто иная запись того, что имели в виду Фреге и Рассел, было бы неверным[166]. Внешняя аналогия в данном случае вводит в заблуждение. Новая запись прежде всего предоставляет возможность реализации тех идей, которые отличают философию логики Витгенштейна от концепций его учителей. В этой записи находит свою реализацию совершенно определённая мысль, а именно: то, как предложение согласовано с действительностью, должно быть видно из самого знака предложения. Что же показывает знак в данном случае? Во-первых, он показывает, что предложение биполярно, т.е. может быть как согласовано, так и не согласовано с соответствующими состояниями дел. Во-вторых, он показывает, какое место предложение оставляет факту. Поскольку истинность элементарного предложения указывает на существование состояния дел, а ложность на несуществование, то согласованность сложного предложения показывает, какая комбинация существования и несуществования возможна, а какая - нет. Как говорит Витгенштейн, "предложение, образ, модель подобны в отрицательном смысле твёрдому телу, которое ограничивает свободу движения другого тела; в положительном смысле подобны пространству, ограниченному твёрдой субстанцией, в котором помещается тело" [4.463]. Наконец, табличный способ записи демонстрирует, что знак может вообще не определять действительность и лишь по видимости являться предложением. При упорядочивании в ряд, как в таблицах 2 и 3, этот случай соответствует двум крайним вариантам условий истинности, а именно: когда предложение истинно при всех условиях, и когда оно при всех условиях ложно.

p

q

p

q

И

И

И

И

И

Л

Л

И

И

Л

И

Л

И

Л

И

И

Л

Л

Л

Л

И

Л

Л

Л

(таб.5)

Знаки типа представленных в таблице 5 или записанных в виде '(ИИИИ)(p, q)' и '(ЛЛЛЛ)(p, q)' Витгенштейн называет тавтологией и противоречием соответственно. "Тавтология оставляет действительности всё бесконечное логическое пространство, противоречие заполняет всё логическое пространство и не оставляет действительности ни одной точки" [4.463]. Таким образом, таблицы истинности дают более удобный, чем ab-запись, использованная в Заметках, продиктованных Муру, способ выражения того, что каждая тавтология должна сама показывать, что она является тавтологией.

В сравнении с записью, используемой Фреге и Расселом, таблицы истинности обладают одним несомненным достоинством. Язык Principia Mathematica ориентирован на естественный язык и строится по его образцу и подобию. Логические константы типа '?' и '?', применяемые Расселом при его построении, получены формализацией фрагментов естественного языка и являются своего рода экстрактами. Такой подход оставляет открытым вопрос о полноте выявленных логических связей и установлении всех возможных форм предложений. И хотя эта проблема разрешима, её решение требует дополнительных средств, в частности апелляции к условиям истинности, которые рассматриваются как объяснение смысла логических союзов. Таблицы истинности, напротив, без каких либо дополнительных объяснений позволяют предвидеть форму любого возможного предложения. Все знаки конструируются a priori единым способом и легко упорядочиваются в ряд. Количество возможных выражений согласования и несогласования равно количеству возможных согласований и несогласований; (22)n возможностей согласования и несогласования n элементарных предложений соответствует (22)n возможностей выражения этих возможностей. Иными словами, возможно (22)n знаков предложений, построенных из n элементарных предложений. Процедура, используемая Витгенштейном, не требует никакого языкового опыта, а ориентируется на априорную сущность предложения. Использование логических союзов становится совершенно необязательным, чем достигается большая общность рассмотрения, т.е. логика сохраняла бы своё значение и в том случае, если бы не было никаких логических констант в смысле Фреге и Рассела.

С точки зрения эвристической ценности результаты табличной записи не сводятся к вышеперечисленным, но имеют радикальное следствие для всей философии логики. Главное в том, что новый способ записи предложений отвечает методологическим устремлениям Витгенштейна, позволяя свести всё содержание логики к уровню показанного. Этим достигается решение целого ряда проблем, поставленных ещё в Заметках. С точки зрения внутренних отношений между знаками, во-первых, разводятся понятия функции истинности и операции истинности, смешение которых лежит в основании неправильного объяснения у Фреге и Рассела логических констант как знаков особых логических объектов. Во-вторых, достоверность логического вывода объясняется таким образом, что излишними становятся законы дедукции, используемые Фреге и Расселом для его оправдания. В-третьих, уточняется понятие вероятности, которая рассматривается не как статистическое обобщение случайных событий, но как характеристика внутренних отношений между предложениями. В-четвёртых, проясняется специфика так называемых предложений логики, совокупность которых исчерпывается тавтологиями и противоречиями. В-пятых, устанавливается общая форма предложения как априорная конструкция, лежащая в основании всех возможных предложений. Наконец, все эти достижения позволяют охарактеризовать логику как науку, отличную от всех других наук. Приступим теперь к рассмотрению и интерпретации этих достижений.