Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Головне управління освіти і науки Донецької облдержадміністрації

Донецьке територіальне відділення МАН України

Відділення: математика Секція: геометрія(стереометрія та планіметрія)

ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ

Роботу виконала: Осіпенко Соф’я Ігорівна, учениця 10 класу Донецької загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів № 64 Науковий керівник: Малкін Едуард Борисович, вчитель математики Донецької загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №64, заслужений вчитель України

Донецьк - 2013

ТЕЗИ

1. Актуальність роботи полягає у тому, що науці та мистецтву потрібен новий поштовх до розвитку, яким може стати відкриття нових можливостей золотого перерізу.

2. Мета роботи – розповісти про золотий переріз та можливості його використання в сучасному житті.

3. Золотий переріз – це таке пропорційне ділення відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої.

4. Коефіцієнти пропорційності золотого перерізу приблизно рівні 62 та 38.

5. Другий золотий переріз було відкрито в 1983 році.

6. Коефіцієнти пропорційності другого золотого перерізу приблизно рівні 44 та 56.

7. Першим, хто відкрив золотий переріз, вважають Піфагора.

8. Золотий прямокутник — це прямокутник, в якому одна бічна сторона відноситься до іншої у золотій пропорції.

9. Пентаграма (п’ятикутна зірка) — це фігура, яку отримали завдяки з’єднанню протилежних вершин опуклого п’ятикутника.

10. В пентаграмі можна отримати два типи золотих трикутників.

11. Золотий переріз використовують в архітектурі. Приклад класичного використання золотих пропорцій — храм Парфенон.

12. Усі найкращі картини світу намальовані з уживанням золотого перерізу.

13. В природі все підвладно законам золотого перерізу та симетрії.

14. Ще одна геометрична фігура, що має властивості золотого перерізу — спіраль Архімеда.

15. Золотий переріз має великий потенціал для свого подальшого розвитку.

ЗМІСТ

ВСТУП……………………………………………………………………….….4

ОСНОВНА ЧАСТИНА………………………………………………………....6

РОЗДІЛ 1

ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ............................................................................................7

1.1.ПОНЯТТЯ ЗОЛОТОГО ПЕРЕРІЗУ.............................................................7

1.2.ДРУГИЙ ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ…….………………...…………………......9

1.3 ІСТОРІЯ ВИВЧЕННЯ ЗОЛОТОГО ПЕРЕРІЗУ........................................10

1.4.ВИСНОВКИ ЗА РОЗДІЛОМ 1....................................................................11

РОЗДІЛ 2

ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ В ГЕОМЕТРІЇ...................................................................12

2.1.ЗОЛОТИЙ ПРЯМОКУТНИК........................................................................12

2.2. ЗОЛОТА ПЕНТАГРАМА.............................................................................13

2.3.ЗОЛОТИЙ ТРИКУТНИК...............................................................................13

2.4.ВИСНОВКИ ЗА РОЗДІЛОМ 2......................................................................15

РОЗДІЛ 3

ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ У МИСТЕЦТВІ ТА ПРИРОДІ.........................................16

3.1.ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ У ЖИВОПИСІ.............................................................16

3.2.ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ В АРХІТЕКТУРІ.........................................................18

3.3.ЗОЛОТИЙ ПЕРЕТИН У ПРИРОДІ...............................................................18

3.3.1.СПІРАЛЬ АРХІМЕДА...............................................................................20

3.4.ЗОЛОТИЙ ПЕРЕТИН В ТІЛІ ЛЮДИНИ.....................................................21

3.5.ВИСНОВКИ ЗА РОЗДІЛОМ 4.......................................................................22

РОЗДІЛ 4

МОЖЛИВОСТІ ВИКОРИСТАННЯ ЗОЛОТОГО ПЕРЕРІЗУ...........................23

ВИСНОВКИ...........................................................................................................24

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ.......................................................25

ІНТЕРНЕТ-РЕСУРСИ............................................................................................25

ВСТУП

Люди здавна бажали знати все про речі та явища, які їх оточували. Не маючи достатнього досвіду, вони всьому надавали магічного змісту, на їх думку, кожне число мало свій вплив на долю людини. Наприклад, одиниця вважалася символом єдності всього сущого, якимось абсолютом. Двійка відбивала подвійність світу: матерія — дух, чоловік — жінка, день — ніч... Також до містичних результатів призводило застосування запозиченого в математиці поняття пропорції (числове співвідношення між частинами одного цілого). І найзагадковіший, найбільш легендарний й найчарівніший — золотий переріз (перетин, пропорція). Згодом до золотого перерізу звертались вчені середньовіччя, називаючи його «божою пропорцією». У багатьох трактатах вчених епохи Відродження можна знайти згадки про золотий перетин. На жаль, зараз люди майже забули про золотий переріз та його надзвичайні властивості.

Ця тема актуальна й зараз, бо золотий перетин разом із симетрією називають основою гармонії всесвіту. З урахуванням золотого перерізу були побудовані всесвітньовідомі піраміда Хеопса та храм Парфенон. Ці пропорції можна розпізнати в картинах багатьох художників різних часів таких, як Леонардо да Вінчі та Іван Шишкін. Найкращі скульптури світу демонструють нам золоті перетини в кожній своїй деталі. Актуальність роботи полягає у тому, що науці та мистецтву потрібен новий поштовх до розвитку, яким може стати відкриття нових можливостей золотого перерізу. Зараз дизайн та зовнішній облік речей мають дуже важливу роль, а золотий переріз допомагає створювати речі з ідеальними та гармонічними пропорціями, котрі завжди приємні людському оку.

Суть проблеми у тому, що про золотий перетин вже майже ніхто не пам’ятає. Люди вважають його якоюсь непотрібною вигадкою давніх математиків та філософів та не розуміють його справжнього значення у світі.

Виходячи з актуальності та суті проблеми я сформувала мету своєї роботи.

Мета роботи – розповісти про золотий переріз та можливості його використання в сучасному житті. Спираючись на мету роботи, я сформувала такі завдання:

1. вивчити золотий переріз;

2. знайти приклади використання золотого перерізу у житті;

3. проаналізувати отриману інформацію та зробити висновки.

Робота є теоретичною, основою є пошук, збір та аналіз інформації. Під час виконання цієї роботи я користувалася довідниками, підручниками та данними зі всесвітньої мережі Інтернет.

Робота складається з: вступу, основної частини та висновків. Основна частина поділяється на 4 розділи: «Золотий переріз», «Золотий переріз у геометрії», «Золотий переріз у мистецтві» та «Золотий переріз у природі». В межах першого розділу описані визначення золотого перерізу, поняття другого золотого перерізу та історія його вивчення. Другий розділ розповідає про використання золотого перерізу в геометрії. Третій розділ ділиться ще на три підрозділи, які розкривають важливість використання золотого перерізу в архітектурі, живописі, скульптурі та природі. Наприкінці кожного розділу наведені висновки за цією темою.

У висновках наведені основі факти та тези, які були доведені під час написання роботи, описано, які результати були отримані під час виконання своїх задач. Можна стверджувати, що я досягла своєї мети та виконала усі задачі, які ставила перед собою на початку роботи. А головне, я отримала задоволення од виконання завдання та дізналася багато нової та цінної інформації

Основна частина

Я обрала цю тему за рекомендацією вчителя, й вона мені одразу сподобалась. Золотий переріз оповитий таємницею, яку дуже хочеться розкрити. Я намагалася зробити це і, сподіваюсь, це мені хоч трішечки вдалося. Золотий переріз — дуже цікава тема, тому що тут ще багато «білих плям», мені здається, що вивчати золотий переріз можна нескінченно.

Оскільки моя робота теоретичного характеру, основною задачею мого проекту є пошук необхідної інформації та її аналіз. Пошук інформації я у більшій частині проводила у всесвітній мережі Інтернет. Слід зазначити, що літератури, яка стосується теми золотого перерізу, достатньо, але, на жаль, вона однотипна і не містить дуже великого об’єму інформації. Для написання своєї роботи я використовувала різноманітну літературу: книги, статті з науково-популярних журналів, інтернет-сторінок та ін.

РОЗДІЛ 1

ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ

1. Поняття золотого перерізу

Золотий переріз – це таке пропорційне ділення відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої (рис.1.1). Це формулювання задає постійне та незмінне значення золотого перерізу.

1 .1.1.

Рис.1.2

Золотий перетин можна побудувати за допомогою лінійки та циркуля(рис.1.2).

• відбудувати перпендикуляр ВС з точки В, рівний половині АВ;

• з’єднати точки А та С;

• на відрізку АС побудувати відрізок CD, рівний BC;

• відрізок АD перенести на відрізок АВ, отримаємо відрізок АЕ;

• отримана точка Е ділить відрізок АВ у золотій пропорції.

1.1.2.

Якщо умовно прийняти АB = 1, АE =x, , отримаємо алгебраїчний вид запису золотого перерізу – квадратне рівняння другого порядку.

Оскільки 0<x<1; x 0,618, AE 0,618. Тоді BE 0,382. Частіше за все використовують округлені коефіцієнти пропорційності 0,62 та 0,38. Якщо прийняти АВ за 100 частин, отримаємо коефіцієнти пропорційності 62 та 38.

2. Другий золотий переріз

Уява про золотий переріз була однозначною доки у 1983 році в 10 номері болгарського журналу «Отечество» не була опублікована стаття «Про другий золотий переріз». Автором цієї статті був болгарський художник Цветан Цеков-Карандаш, який займався вивченням золотого перетину та його використання у творчості Леонардо да Вінчі.

1.2.1.

Рис. 1.3

Другий золотий перетин будується на основі першого золотого перерізу (рис. 1.3) та має коефіцієнти пропорційності 0,56 та 0,44 або 56 та 44.

• відрізок АВ точкою С поділити у золотій пропорції;

• з точки С відновити перпендикуляр та провести відрізок CD, рівний відрізку AC;

• з’єднати точки A та D , отримаємо прямокутний трикутник ACD ( )

• провести бісектрису СЕ до сторони AD;

• точка Е ділить відрізок AD у золотій пропорції.

3. Історія вивчення золотого перерізу

Вважається, що поняття золотого перерізу ввів Піфагор, давньогрецький філософ та математик. Давні люди вірили в магію чисел та надавали усьому містичного змісту. Однак, є припущення, що Піфагор позичив теорію золотого перетину у єгиптян та вавилонян. Адже золоті пропорції вбачаються в основі піраміди Хеопса, барельєфів та речей з гробниці Тутанхамона. Греки були майстерними геометрами. Окрім Піфагора, про золотий переріз знав також Платон. У його діалозі «Тимей» мова йде про поділ у крайньому та середньому відношенні. Під час розкопок стародавнього храму Парфенон були знайдені циркулі з закладеними золотими пропорціями.

В літературі античності про золотий перетин йдеться в «Початках» Евкліда. У другій книзі Евклід наводить перше зображення геометричної побудови золотого перерізу. Після Евкліда вивченням цієї теми займалися Гіпсікл та Папп.

Наступна хвиля захоплення золотим перетином почалася в епоху Відродження. Тогочасних вчених цікавили можливості використання золотого перерізу в науці та мистецтві. Над цим працювали Леонардо да Вінчі та Лука Пачолі. Слід зазначити, що термін «золотий переріз» ввів саме Леонардо да Вінчі. Ці два дослідники зустрілись у 1496 році в Мілані. Саме тому вважається, що ілюстрації, які були наведені в книзі «Божественна пропорція», зробив Леонардо да Вінчі. Ця книга була видана у 1509 році у Венеції. Ця праця була захопленим гімном золотому перерізу. У той же час у Германії Альбрехт Дюрер займався вивченням пропорцій тіла людини. Результати були вражаючими — пропорції відповідали «золотим». У ХVI столітті великий астроном Іоганн Кеплер вперше звернув увагу на взаємозв’язок золотого перетину і ботаніки.

У наступних століттях про золотий перетин було забуто. Наступного разу його було відкрито в середині ХІХ року. У 1855 році професор Цейзінг оприлюднив свою працю «Естетичні дослідження». У Цейзінга було багато послідовників, але були й противники, які назвали його теорію математичною естетикою. Зараз золотий переріз майже забуто.