2.4.4 Косвенные измерения

Косвенные измерения предполагают наличие функциональной связи

Y = (x₁, x₂, ... , х_n), (2.18)

где х₁, х₂, ... ,х_n - подлежащие прямым измерениям аргументы функции Y.

Очевидно, погрешность в оценке Y зависит от погрешностей при измерениях аргументов. При этом могут иметь место два случая: аргументы взаимонезависимы и взаимозависимы.

Для независимых аргументов абсолютная погрешность

,

относительная

,

и СКО функции

,

где частные производные df/dx₁, df/dx₂... вычисляются при x₁ =  , x₂ =  ..., а величины Δх₁, Δх₂,... определяют, например, с помощью коэффициентов Стьюдента для одного и того же значения доверительной вероятности.

При вводе b_i = dY/dx_i - абсолютного коэффициента влияния аргумента х в функцию Y ee абсолютная погрешность составит

. (2.19)

Тогда относительная погрешность определяется как

, (2.20)

где относительный коэффициент влияния.

Если в качестве меры точности измерений выступает СКО, то

. (2.21)

При наличии взаимосвязей между аргументами с учетом парных коэффициентов корреляции

, (2.22)

где ρ – коэффициент корреляции;

i =1, 2, ..., k, ..., n.

Для технических измерений предложен более простой и не менее точный подход, основанный на методе математического программирования, сводящий аналитическую задачу к вычислительной. При этом в информации о законе распределения аргумента нет необходимости. В качестве оценки принимается полусумма максимального и минимального значений функции Y, а оценки абсолютной погрешности — полуразность этих значений:

; . (2.23)

Тогда относительная погрешность

. (2.24)

2.4.5 Совместные и совокупные измерения

Одновременные измерения двух или нескольких величин называются совместными, если уравнения измерения для этих величин образуют систему линейных независимых уравнений.

Если число уравнений превышает число неизвестных, то полученную систему решают методом наименьших квадратов (МНК) и находят оценки х и у и их СКО. Доверительные интервалы для истинных значений х и у строят на основе распределения Стьюдента. При нормальном распределении погрешностей МНК приводит к наиболее вероятным оценкам, удовлетворяющим принципу максимума правдоподобия.

Совокупные измерения отличаются от совместных только тем, что при совокупных измерениях одновременно измеряют несколько одноименных величин, а при совместных - разноименных. Математический аппарат у этих видов измерений один. Учитывая характер измеряемых величин, совместные измерения можно рассматривать как обобщение косвенных, а совокупные - как обобщение прямых измерений.

Рассмотрим более подробно совместные измерения.

Целью совместных измерений является установление функциональной зависимости между величинами, например, зависимости сопротивления проводника от температуры.

Подход к решению подобных задач возможен на основе применения метода наименьших квадратов. В этом методе оценки параметров зависимости определяют из условия, что сумма квадратов отклонений расчетных значений аппроксимирующей функции от экспериментальных значений должна быть минимальна.

При обосновании метода наименьших квадратов в математической статистике предполагается, что результаты измерений (х_i, у_i), i = 1,..., m удовлетворяют следующим условиям:

• значения аргументов х_i известны точно;

• систематические погрешности исключены и результаты измерений у_i содержат лишь случайные погрешности, которые независимы и имеют одинаковые дисперсии;

- погрешности измерения y_i имеют нормальное распределение.

При этих условиях метод наименьших квадратов дает несмещенные оценки параметров зависимости, имеющие минимальные дисперсии.

Рассмотрим важный для практики случай построения методом наименьших квадратов линейной зависимости у = А + Вх , где А и В - постоянные.

Задача определения наилучшей прямой линии, аппроксимирующей набор из m экспериментальных точек (х₁, у₁), ..., (х_m, у_m), сводится к нахождению значений постоянных А и В .

В теории метода наименьших квадратов показано, что наилучшие оценки для неизвестных постоянных А и В это те, для которых минимально выражение

(2.25)

где σ_y - среднее квадратическое отклонение погрешности измерения у.

Продифференцировав (2.25) по А и В и приравняв производные нулю, получим систему уравнений для определения А и В. Опуская математические преобразования, приведем выражения для расчета оценок постоянных:

(2.26)

и

, (2.27)

где . (2.28)

Формулы (2.26) и (2.27) дают оценки постоянных А и В для прямой линии у = А + Вх, основанные на m точках, полученных совместными измерениями.

Представление о приближении аппроксимирующей функции к истинной зависимости получим, оценив погрешности в определении постоянных А и В. Такие оценки возможно выполнить, если обратить внимание на то, что оценки (2.26) и (2.27) для А и В - точно определенные функции измеренных значений у₁, ... , у_m. Погрешности А и В определяются расчетом по правилам косвенных измерений, исходя из погрешностей измерения ∆у₁,..., ∆у_m.

Среднее квадратическое отклонение погрешности измерения σ_y может быть известно до начала измерений, либо вычислено по результатам измерения, как

. (2.29)

Тогда

(2.30)

и

, (2.31)

где G определено по (2.28).

Задача аппроксимации результатов совместных измерений линейной зависимостью только частный случай широкого класса задач по аппроксимации результатов измерений, многие из которых могут решаться методом наименьших квадратов. Так, на основе этого метода решается задача аппроксимации зависимостей, выражаемых полиномами вида у = А + Вх + Сх² + ... + Нх^m, экспоненциальными функциями вида у = Ае^Вх (где А, В, С, ... , Н - постоянные). Конкретные методики аппроксимации этих и других зависимостей рассматриваются в специальной литературе.