6. Рівносильність формул. Основні закони логіки предикатів

Дві формули логіки предикатів називаються рiвносильними (еквiвалентними) (позначається = ), якщо вони набувають однакових значень істинності для довільних значень вільних змінних. Зокрема, якщо формули і еквівалентні, то формула є тавтологією.

Еквівалентні формули логіки висловлювань залишаються такими й у логіці предикатів.

Основні закони логіки предикатів

1. Закони де Моргана для кванторів: ; ;

2. Дистрибутивні закони: ; ;

3. Закони перестановки однойменних кванторів: ; ;

4.Закони пронесення кванторів: ; ;

7. Випереджена нормальна форма

Випередженою (префіксною) нормальною формою називається формула, яка має вигляд: , де ‑ це квантори або , а ‑формула, що не містить кванторів, тобто випереджена нормальна форма містить тільки операції диз'юнкції, кон’юнкції і заперечення; причому символ заперечення знаходиться тільки перед символом предикатів.

Вираз називають префіксом, а - матрицею формули, записаної у випередженій нормальній формі. Наприклад, , - формули, записані у випередженій нормальній формі.

Теорема. Для кожної формули логіки предикатів існує еквівалентна їй випереджена нормальна форма.

Алгоритм зведення довільної формули до випередженої нормальної форми:

1) позбутися еквівалентності та імплікації : та

2) подати формулу таким чином, щоб символи заперечення розташовувалися безпосередньо перед символами предикатів: та ; та ;

Перейменувати зв’язані змінні, якщо це потрібно.

3) Винести квантори в префікс.

8. Правила виведення логіки предикатів

Формула логічно слідує з формули в логіці предикатів, якщо на кожній множині М при будь-якій інтерпретації формула набуває значення 1 при кожному заміщенні вільних предметних змінних назвами елементів М, при якому формула набуває значення 1. Це записують так .

Логічне слідування має місце тоді і тільки тоді, коли тавтологією є формула

Правила виведення логіки предикатів

У логіку предикатів переносяться перш за все відомі правила виведення з логіки висловлювань, а також: 1. - універсальна конкретизація

Це правило виведення того, що істинне для довільного елемента с з предметної області за умови, що формула істинна.

2. - універсальне узагальнення

Це правило виведення, згідно з яким істинне, якщо істинне для довільного елемента с з предметної області.

3. - екзистенційна конкретизація

Це правило виведення, яке дає змогу дійти висновку про те, що на підставі істинності можна твердити, що в предметній області є елемент с , для якого істинне.

4. - екзистенційне узагальнення

Це правило виведення, яке використовується для того, щоб на підставі істинності на якомусь елементі с з предметної області дійти висновку, що істинне.