3. Квантори

Крім операцій алгебри висловлень, над предикатами виконують ще дві нові операції – операції навішування кванторів: - квантор довільності (alle - всі) та - квантор існування ( existencia - існування).

Вираз читають: « для всіх х », « для кожного х », « для будь-якого х ».

Запис означає «для будь-якого виконується властивість »; його читають: « для всіх х»

Вираз читають: «існує х », « для деяких х », «принаймні для одного х ».

Запис означає «деякі мають властивість » .

Приклад 1. Запишемо за допомогою предиката і квантора речення «Для довільного x із множини натуральних чисел х=2». Розв’язання. 1-й спосіб: .

Вираз в дужках є предикатом. Дужки для того, щоб виділити область дії квантора.

2-й спосіб: Позначимо P(x): «х=2», тоді задане речення можна записати так: .

Предикат, на який діє квантор, називають областю дії квантора.

Змінні, на які навішують квантори, і які попадають в область його дії, називаються зв’язаними змінними. Змінні, що лежать поза дією квантора, називаються вільними.

Якщо предикат двомісний, а квантор навішений на одну змінну предиката, то предикат залишається предикатом.

Якщо ж квантори навішані на всі предикатні змінні, то предикат переходить у формулу алгебри висловлень і приймає одне з двох значень 0 або 1.

Приклад: - предикат; змінна х - зв’язана, а у – вільна.

- формула алгебри висловлень; х і у – зв’язані.

Якщо множина, на якій діє квантор, скінчена, то символ на множині можна замінити через кон’юнкцію:

Квантор існування можна записати у вигляді диз’юнкції: .

4. Формули логіки предикатів

Наведемо iндуктивне означення поняття формули логiки предикатiв (предикатної формули або просто формули ) на предметнiй областi M.

1. Усi предикати P(x₁,x₂,...,x_n) на множинi M є формулами. Такi формули називають елементарними, або атомарними.

2. Якщо і (n-місні предикати) є формулами, то , , , , , також є формулами

3. Якщо - формула, а x - вiльна змiнна в Р, то та - формули

4. Формули можна породити тільки скінченою кількістю застосувань попередніх трьох правил.

Це означення дозволяє твердити, що усi формули алгебри висловлень є формулами логiки предикатiв, оскiльки висловлення - це нульмiснi предикати.

Для спрощення виразів у логіці предикатів, як і в алгебрі висловлень зовнішні дужки опускають. Вважається, що квантори мають більший пріоритет, ніж всі інші логічні операції. Опускатимемо також дужки, що позначають область дiї квантора, якщо остання є елементарною формулою. Не писатимемо дужки мiж кванторами, що слiдують один за одним. При цьому виконання таких кванторних операцiй вiдбувається в порядку, зворотньому до їх написання (справа налiво).

5. Інтерпретації формул логіки предикатів

Для дослідження істинності формул алгебри висловлень використовували таблиці істинності. Для дослідження істинності формул логіки предикатів використовують інтерпретації.

Інтерпретація полягає в тому, що:

1) замість предикатів, які входять у формулу, підставляють конкретні відношення;

2) вводять універсальну множину (невелику 2-3 елементи);

3) на множині цих значень і відношень оцінюємо формулу алгебри предикатів.

x	L1	L2	L3	L4
a	0	0	1	1
b	0	1	0	1

Для повного дослідження формул логіки предикатів на скінченно універсальній множині користуються таблицями. Якщо маємо одномісний предикат , то можливі такі чотири випадки(відношення)

Підставляючи замість предиката одне з чотирьох відношень L₁, L₂, L₃, L₄, ми здійснимо повну інтерпретацію формул логіки предикатів.

Формула логіки предикатів, яка на всіх можливих інтерпретаціях приймає значення 1, називається загальнозначущою. Якщо принаймні при одній інтерпретації формула логіки предикатів приймає значення 1, то вона називається виконуваною.