Розділ. Логіка предикатів

1. Поняття предиката

Числення висловлень, будучи складовою частиною всіх логічних числень, зовсім недостатнє для аналiзу найпростiших логiчних мiркувань.

Розглянемо, наприклад, таке міркування: «Іван старший від Петра, Петро старший від Василя, отже, Іван старший від Василя». Правильність цього міркування не викликає сумніву. Перекладемо його на мову алгебри висловлень: . Дане співвідношення справджується, якщо формула є тавтологією. Проте, якщо , а , то , що суперечить правильності твердження . Справа в тому, що у численнi висловлень будь-яке просте висловлення розглядається як неподiльне цiле, позбавлене внутрiшньої структури, яке має лише одну властивiсть - бути або iстинним, або хибним. Для подання вихідного висловлювання у вигляді формули потрібно заглянути в суть простих висловлювань, що неможливо на базі алгебри висловлень. Такий аналіз здійснюється в логіці предикатів.

Кожне з висловлень цього прикладу можна записати предикатом , де х та у – предметні змінні (аргументи, терми), а - двомісний предикат, : «бути старшим». Предикат – це назва властивості предмету чи відношення між предметами.

Одномісним предикатом , визначеним на множині Х, називається вираз, який після підстановки в нього замість х предметів із Х перетворюється на висловлювання, тобто, якщо надати предметним змінним певних значень, то предикат перетворюється на висловлювання. Множину Х називають предметною областю.

Наприклад, предикат Р(х): «х більше 3», тоді при х=4 маємо тому, що 4>3.

Предикат може залежати від кількох пропозиційних змінних, при цьому ці пропозиційні змінні набувають своїх значень із деякої універсальної множини U, а предикат набуває значень з множини . Інколи під предикатом розуміють підмножину U, на якій цей предикат тотожно дорівнює 1.

Якщо предикат залежить від однієї змінної, то він називається одномісним; від 2-х – двомісним і т. д. Якщо предикат не залежить від жодної змінної, то він називається нульмісним, або висловлюванням. Наприклад, «1 більше 0» - 0-місний предикат.

Вираз, яким записується предикат – це висловлювальна форма. Наприклад, - тримісна висловлювальна форма.

2. Операції над предикатами

Оскільки значеннями предикатів є висловлювання, то над предикатами можна виконувати логічні операції алгебри висловлень: , , , , ~

Нагадаємо, що предикат - це певна підмножина універсальної множини U, а саме та підмножина, на якій цей предикат тотожно дорівнює 1 (так звана множина істинності предиката).

Кон’юнкцiєю P(x₁,x₂,...,x_n)Q(x₁,x₂,...,x_n) називають предикат R(x₁,x₂,...,x_n), який набуває значення 1 на тих i тiльки тих наборах значень змінних, на яких обидва предикати P(x₁,x₂,...,x_n) i Q(x₁,x₂,...,x_n) дорiвнюють 1.

Диз’юнкцiєю P(x₁,x₂,...,x_n)Q(x₁,x₂,...,x_n) називають предикат T(x₁,x₂,...,x_n), який набуває значення 1 на тих i тiльки тих наборах значень термiв, на яких або предикат P(x₁,x₂,...,x_n), або предикат Q(x₁,x₂,...,x_n) дорiвнює 1.

Запереченням P(x₁,x₂,...,x_n) предиката P(x₁,x₂,...,x_n) називають предикат S(x₁,x₂,...,x_n), який дорiвнює 1 на тих i лише тих значеннях термiв, на яких предикат P(x₁,x₂,...,x_n) дорiвнює 0.

Імплікація ; еквіваленція

Кон’юнкцію двох предикатів можна розглядати як перетин областей iстинностi предикатiв ; диз’юнкцію двох предикатів можна розглядати як об’єднання областей iстинностi предикатiв ; заперечення предиката - це доповнення тієї підмножини U, яка відповідає предикату Р.