Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТАУ - Методические указания к ЛР (лабы_лин_нели...doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
4.58 Mб
Скачать
  1. Описание исследуемой системы

Рассмотрим уравнение, описывающие динамику маятника с трением (рис. 4.8), совершающего свободные колебания относительно оси О:

Рис. 4.8. Физический маятник

, (4.5)

где J- момент инерции маятника, kс – коэффициент трения, m – масса маятника, ρ – длина нити, φ(t) – угол отклонения маятника от вертикали, отсчитываемый из нижнего положения в направлении против часовой стрелки.

Перейдем к уравнениям состояния вида (4.1), введя переменные состояния в форме ; .

Тогда уравнение (4.5) станет:

, (4.6)

где k2=kc/J; k3=mgρ/J.

Фазовый портрет для системы (4.6) изображен на рис 4.9 (случай k1=1).

Очевидно, что точками равновесия при k1=1, т.е. значениями х*1 и х*2, обращающими в ноль правые части уравнений (4.6), являются точки , Точки равновесия (0,0), (2π,0), (-2π,0) и т.д. соответствуют нижней точке равновесия (0,0). Траектории в окрестности этой точки равновесия демонстрируют качественное поведение, характерное для траекторий в окрестности устойчивого фокуса. Точки равновесия (π,0), (-π,0) и т.д. соответствуют верхней точке равновесия маятника. В окрестности этой точки поведение траекторий характерно для фазового портрета типа «седло». Устойчивые траектории седловых точек (π,0) и (-π,0) образуют сепаратрисы, которые отделяют области, характеризующиеся тем, что все траектории, начинающиеся внутри этих областей, стремятся к точке равновесия (0,0). Эта картина периодически повторяется. Тот факт, что траектории могут стремиться к различным точкам равновесии, объясняется тем, что маятник может совершить несколько полных оборотов, прежде чем он установится в нижнем положении равновесия. Например, траектории, начинающиеся в точках Аи В (рис. 4.9) имеют одно и то же начальное состояние, но разные начальные скорости: траектория, начинающаяся в В имеет бóльшую кинетическую энергию и совершает полный оборот, прежде чем начать осциллировать с убывающей амплитудой.

Качественное поведение нелинейной системы может быть теоретически определено посредством ее линеаризации в окрестности точки равновесия х*=(х*1, х*2), если правые части системы (4.1) f1=(х1, х2) и f2=(х12) непрерывно дифференцируемые функции.

Рис. 4.9. Фазовый портрет маятника для системы (4.6)

Линеаризованная модель для системы (4.1) имеет вид:

(4.7)

где y1=x1-x*1; y2=x2-x*2 – отклонения переменных x1 и x2 от положения равновесия;

. (4.8)

Матрица называется якобианом (матрицей Якоби) функции f(x) в точке х=х*.

Если корни характеристического уравнения линеаризованной модели

det(pI2-A)=0

(р – оператор Лапласа, I2 – единичная матрица 2-го порядка)

не является чисто мнимыми, то о поведении исходной нелинейной системы (4.1) в окрестности положения равновесия х=х* можно судить по линеаризованной модели (4.7). Очевидно, что для системы (4.6) матрица Якоби имеет вид

Поясним фазовый портрет, представленный на рис 4.9, при k1=1, k2=1, k3=2. Тогда

Очевидно, что в центре координат при х*1=0, х*2=0 матрица А

; det(pI2-A1)=р2+р+2,

и корни характеристического уравнения - два комплексно сопряженных корня с отрицательной вещественной частью. Это соответствует особой точке типа устойчивого фокуса (рис. 4.2,б).

В положении равновесия х*1=π, х*2=0 имеем cosх*1=-1, и матрица А имеет вид ; det(pI2-A1)=р2+р-2,

корни характеристического уравнения соответственно равны λ1=1; λ2=-2. Как указывалось ранее, при наличии одного вещественного положительного корня положение равновесия является седловой точкой (рис. 4.5).