Методичні рекомендації до виконання завдання

Зміни або переходи економічних систем у більшості носять випадковий характер. Ланцюг таких переходів з одного стану в інший може бути описаний за допомогою стохастичних (імовірнісних) матриць переходів, що володіють певними властивостями. Теорія Марківських ланцюгів є інструментом для аналізу таких процесів, в яких перехід з одного стану в інший залежить лише від його стану в даний час і не залежить від того, коли і яким чином система прийшла в цей стан.

Приклад вирішення завдання у середовищі WinQSB

Підприємство, як елемент фінансово-економічно ї системи, упродовж свого функціонування може знаходитися у різних станах (S₁ ... S_і; і=j = n, де n – кількість можливих станів_.), що відповідають певним рівням його фінансової безпеки (ФБП). Для того, що визначити ймовірність досягнення j-го рівня ФБП, необхідно задати ймовірності переходу з рівня і на рівень j (Р_іj), сукупність яких за всіма рівнями й складатиме матрицю переходів.

Ймовірність переходу – це ймовірність того, що у наступному періоді підприємство буде знаходитися у певному j-ому стані фінансової безпеки, за умови, що відомо її поточний і-ий рівень та динаміка зовнішнього середовища.

Оскільки підприємство може знаходитися тільки на одному з n рівнів, то для певного моменту часу необхідно завдати ймовірності переходу, які можна подати у вигляді матриці:

			P11	P12	…	P1n
			P21	P22	…	P2n
| Pij |	=		…	…	…	…
			Pі1	Pі2	…	Pin
			…	…	…	…
			Pn1	Pn2	…	Pnn

де P_ij – ймовірність переходу за один крок з рівня S_і на рівень S_j;

P_iі – ймовірність збереження підприємством поточного рівня фінансової безпеки;

n – кількість рівні фінансової безпеки.

Перехідні ймовірності Марківського ланцюга створюють квадратну матрицю розміром n x n з такими особливостями.

1. Кожен рядок (і) характеризує певний стан фінансової безпеки підприємства, а її елементи – ймовірність всіх можливих переходів за один період з теперішнього і-го в майбутній j-ий стан, у тому числі і ймовірність залишитися у тому ж (теперішньому) стані.

2. Елементи стовпців (j) показують ймовірність всіх можливих переходів підприємства за один період в заданий (j-ий) стан його фінансової безпеки. Таким чином рядок (і) характеризує ймовірність переходу підприємства із теперішнього і-го стану фінансової безпеки, а стовпець – у майбутній j-ий стан.

3. По головній діагоналі матриці перехідних ймовірностей знаходяться вірогідність Р_іі того, що підприємства залишиться у досягнутому стані захищеності його фінансових інтересів.

Оскільки підприємство може зберегти, збільшити або знизити рівень фінансової безпеки, тоді й сума ймовірностей перебування в одному із зазначених рівнів становитиме одиницю:

При цьому перехід з одного рівня на інший може бути викликано як внутрішніми, так і зовнішніми змінами.

З огляду на означене, необхідно побудувати матрицю ймовірностей переходу підприємств між рівнями його фінансової безпеки за різних рівнів стану фінансової безпеки регіонів та держави, для чого слід визначити ймовірності знаходження підприємства на певному рівні його фінансової безпеки на початок аналізованого періоду.

Для полегшення опису математичної сутності процесу формування вектору початкових ймовірностей (Р_1j) та матриці ймовірностей переходу поставимо у відповідність кожному рівню фінансової безпеки його кількісне словесне трактування: оптимальний рівень ФБП – перший рівень ФБП; попереджувальний рівень ФБП – другий рівень ФБП; контрольний рівень ФБП – третій рівень ФБП; кризовий рівень ФБП – четвертий рівень ФБП.

Отже, оскільки рівень фінансової безпеки підприємства у певний період є точно визначеним, наприклад, він характеризується попереджу­вальним рівнем (тобто, другим), то вектор початкових ймовірностей (Р_1j) матиме значенням елементу Р₁₂ одиницю, а всі інші його елементи дорівнюватимуть нулям: P₁₁ = 0, P₁₂ = 1, P₁₃ = 0, P₁₄ = 0.

Для більш наглядного аналізу процесу впливу стану фінансової безпеки зовнішнього середовища на ступінь захищеності фінансових інтересів підприємства варто звернутися до графу станів фінансової безпеки, вершини якого відображують можливі рівні фінансової безпеки підприємства (S_i), а стрілки – ймовірності їх зміни.

Графічне зображення Марківського ланцюгу станів фінансової безпеки підприємств (n = 4; вершини графу відображають можливі рівні фінансової безпеки підприємства (S_i), а стрілки – ймовірності їх зміни) подано на рис. 67.

Рис. 67. Граф станів фінансової безпеки підприємства

Таким чином, маючи матрицю перехідних ймовірностей (Р_іj), яка задає вірогідність зміни і-го рівня фінансової безпеки підприємства при різних її рівнях на мезо- та макросередовищі, можна визначити ймовірність зміни рівня захищеності фінансових інтересів підприємства через певний час за такою формулою:

де P_i(t) – ймовірність знаходження підприємства на S_і рівні фінансової безпеки через певний час t;

P_j(t –1) – ймовірність того, що підприємство знаходилося на початковому S_j рівні фінансової безпеки;

P_jі – ймовірність зміни підприємством рівня фінансової безпеки S_j на рівень S_і ; (за умови j > i – підприємство підвищує рівень своєї безпеки; за умови j < i – знижує; за умови j = i – не змінює);

t – період;

n – кількість рівнів фінансової безпеки, на яких може знаходитися підприємство.

Схематичне зображення марківського ланцюгу станів фінансової безпеки підприємства у вигляді графів (відповідно до табл. 36) за умови різного впливу зовнішнього середовища подано на рис. 68.

Рис. 68. Марківські ланцюги станів фінансової безпеки підприємства