Вопрос 12

Вопрос 13

Вопрос 14

Вопрос 15 и 16

Сдвиг – простой вид деформации, характери-

зующийся взаимным смещением параллельных слоев

материала под действием приложенных сил при неиз-

менном расстоянии между слоями.

При сдвиге в поперечном сечении из шести внут-

ренних усилий действует только одно – поперечная си-

ла Q (рис. 4.1).

Порядок вывода расчетных формул в сопротивлении материалов

При выводе любых аналитических зависимостей в сопротивлении

материалов рассматривается существование малого элемента тела с целью

последовательного определения его перемещений, деформаций и напря-

жений в нем. Проинтегрировав установленные зависимости по всему объ-

ему тела, находят связь перемещений, деформаций и напряжений с внеш-

ними силами.

Всякий расчет состоит из четырех этапов:

статический анализ – устанавливает связь напряжений с внешними

нагрузками путем интегрирования уравнений равновесия элемента по все-

му объему тела;

геометрический анализ – устанавливает связь между перемеще-

ниями и деформациями малого элемента тела;

физический анализ – устанавливает связь между деформациями

элемента и напряжениями в нем. При упругой деформации используется

закон Гука;

синтез установленных зависимостей. Подставляя найденные на

трех предыдущих этапах выражения одно в другое и упрощая их, получа-

ют окончательные расчетные формулы.

Для установления связи внутренних усилий с напряжениями и де-

формациями при сдвиге рассмотрим несколько этапов.

I. Статическая сторона задачи – условие равновесия (рис. 4.2)

    

A

Y 0; Q τ d A.

В действительности, касательные напряжения распределяются по се-

чению неравномерно. Однако, если принять допущение о равномерном

распределении напряжений, что широко используется на практике, то

Q    A, откуда

A

Q

  . (4.1)

Рис. 4.1

Q

Q

B 52

II. Геометрическая (деформационная) сторона задачи

В элементе В, выделенном на рис. 4.1, ΔS – абсо-

лютный сдвиг; γ – относительный сдвиг

a

S

  tg   . (4.2)

III. Физическая сторона задачи

В области упругих деформаций справедлив закон Гука

  G   . (4.3)

IV. Математическая сторона задачи

Подставляя (4.1) и (4.2) в (4.3), получим закон Гука для сдвига

G A

Q a

S

a

S

G

A

Q





 , откуда Δ 

Δ

(4.4)

Произведение G∙A – жест-

кость сечения при сдвиге;

G – модуль сдвига, модуль

касательной упругости, модуль

упругости второго рода. Для

стали в расчетах принимают

G = 80 ГПа = 80·104

МПа.

Установлена связь между

упругими постоянными

21 μ



E

G , (4.5)

где μ – коэффициент поперечной деформации (Пуассона)

Напряженное состояние

По граням выделенного на рис. 4.1

элемента В действуют только касательные

напряжения ; нормальные напряжения

σx = 0, σy = 0. Графическим построением (рис.

4.3, а) и аналитическим решением по фор-

мулам

; 2α 90 ;

0

2τ

σ σ

2τ

tg 2α



   











xy

x y

xy

2

2

max, min τ

2

σ σ

2

σ σ

σ xy

x y x y

 













 





 ;

max 1 2 min σ3 σ  τxy  σ ; σ  0; σ  τxy 

получаем: главные площадки ориентирова-

ны под углом 45° к направлению сдвигаю-

Рис. 4.3. Построение круга

Мора для определения

главных площадок и вели-

чины главных напряжений

D(σy, yx)



σ3 σ1

0

σ Р

σ3 σ1

C(σx, xy)

σ3 σ1

yx D

C

xy

б

а

Q

Δ

S

γ

Q

a

Q

y

Q

dA



A



Рис. 4.2. Внутренние усилия и напряжения,

возникающие в сдвигаемых слоях 53

щих напряжений (рис. 4.3, б), величины главных нормальных напряжений

равны касательным напряжениям.

Имеет место чистый сдвиг – частный случай плоского напряжен-

ного состояния, при котором по граням элемента действуют только ка-

сательные напряжения. вопрос 17