18. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет бесконечное множество решений. Найдите множество решений уравнения при этих значениях параметра а.

Решение. Сделаем замену Очевидно,

Исходное уравнение принимает вид

, где (18.1)

Отметим: исходное уравнение и уравнение (18.1) при одних и тех же значениях параметра а имеют бесконечное множество решений.

Уравнение (18.1) равносильно совокупности

Из последней совокупности следует, что уравнение (18.1) имеет бесконечное множество решений, если . (Отметим, что первое и третье уравнения последней совокупности имеют не более чем по одному решению.)

Так как корни уравнения – это или то при решениями уравнения (18.1) являются .

Так как то при решениями исходного уравнения

являются (рис 21, так как, если то если то ).

^Ответ.

19. Решите уравнение .

Решение. 1. Очевидно, что является корнем исходного уравнения при любом

2. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих исходному уравнению при условии, что . Имеем

При исходное уравнение равносильно совокупности (19.1).

3. На рисунке 22 изображён график совокупности (19.1). Из рисунка 22 и так как является корнем исходного уравнения при любом следует, что исходное уравнение имеет

один корень , если ; два корня: , (корень находим из уравнений 2 и 3 совокупности (19.1)), если ; то три корня: _, (последние два корня находим из уравнений 1 и 2 совокупности (19.1)), если .

Ответ. Один корень _, если ; два корня: _, если ; три корня: _, если .

20. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет 1) три корня; 2) два корня. Найдите эти корни.

Решение. 1. Так как

то исходное уравнение равносильно уравнению

Сделаем замену

2. Рассмотрим уравнение (20.1)

Если то уравнение (20.1) имеет единственный корень . Для любого , уравнение (20.1) имеет два различных корня или .

3. Если то исходное уравнение принимает вид

, где . (20.2)

Уравнение (20.2) равносильно совокупности

4. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих последней совокупности.

а) Графиком функции где , является часть прямой. Из уравнения следует, что Обозначим

б) Графиком функции где , является часть параболы. Из уравнения где , следует, что Обозначим

График рассматриваемой совокупности изображён на рисунке 23.

5. Исходное уравнение может иметь три корня только в случае, когда уравнение (20.2) имеет два корня, причём одним из корней является , а второй корень (следует из 2.).

Из рисунка 23 следует, что уравнение (20.2) имеет два корня, причём одним из корней является , в двух случаях.

1) Если , то уравнение (20.2) имеет два корня: , (так как ). Так как то из 2. следует, что при исходное уравнение имеет три различных корня:

если , то ;

если , то ,

2) Если , то уравнение (20.2) имеет два корня: , (так как ). Так как то из 2. следует, что при исходное уравнение имеет три различных корня:

если , то ;

если , то ,

6. Исходное уравнение может иметь два корня только в случае, когда уравнение (20.2) имеет один корень, который не равен нулю.

Из рисунка 23 следует, что уравнение (20.2) имеет один корень в трёх случаях.

1) Если , то

Из 2. следует, что при исходное уравнение имеет два корня:

,

2) Если , то . Из 2. следует, что при исходное уравнение имеет два корня:

, _.

3) Уравнение (20.2) имеет один корень при тех значениях параметра при которых графики функций где , пересекаются.

Точку пересечения графиков функций найдём из системы

Из 2. следует, что при и исходное уравнение имеет два корня: , .

Ответ. 1) Три корня, если , то , , если , то ,

2) Два корня, если , то , если , то если , то , .

21. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

Решение. 1. При любом значении корнем уравнения является , так как в этом случае исходное уравнение принимает вид .

2. Уравнение имеет единственный корень при тех значениях параметра а, при которых оно имеет только корень (так как корень исходного уравнения при любом значении ).

а) Если , то исходное уравнение имеет единственный корень (так как уравнение принимает вид ).

б) Пусть .

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Рассмотрим первое уравнение совокупности (21.1), если . Имеем

Из последней системы следует, что первое уравнение совокупности (21.1), имеет единственный корень , если Отметим, что и удовлетворяют условию .

Корнем второго уравнение совокупности ( ) не является ни при каких значениях .

Итак, исходное уравнение при имеет единственный корень

Ответ.

22. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет три корня.

Решение. 1. Если , то исходное уравнение принимает вид

. (22.1)

Уравнение (22.1) имеет нечётное число корней тогда и только тогда, когда является корнем уравнения (так как и являются одновременно корнями уравнения). Легко проверить, что не является корнем уравнения (22.1), поэтому при исходное уравнение не может иметь трёх корней.

2. Пусть

Перепишем уравнение в виде

Так как то последнее уравнение, а значит и исходное уравнение, имеет решение, если

Итак, исходное уравнение имеет решение, если

Замечание. Если точка является корнем исходного уравнения при _, то является корнем этого уравнения при . Это следует из того, что и

Из замечания следует: если исходного уравнения имеет три корня при _, то оно имеет также три корня при .

3. Рассмотрим исходное уравнение при

Исходное уравнение, если (так как ) равносильно совокупности уравнений

4. Рассмотрим функции где

а) Графиком функции , где является «уголок» с вершиной в точке (0; 12). Очевидно,

б) Графиком функции , где является «уголок» с вершиной в точке (0; 76). Очевидно,

в) Графиком функции является парабола с подвижной вершиной в точке (– 0,5а; 0), где ветви которой направлены вверх.

5. Из рисунка 24 (масштаб на осях координат разный) следует, что исходное уравнение имеет три корня при тех значения параметра , при которых парабола проходит через точку (8; 36) при условии, что

Парабола проходит через точку (8; 36), если

Из замечания следует, что исходное уравнение и при имеет три корня.

Ответ.

23. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

Решение. 1. Если , то исходное уравнение принимает вид . (23.1)

Уравнение (23.1) имеет нечётное число корней тогда и только тогда, когда является корнем уравнения (так как и являются одновременно корнем уравнения). Легко проверить, что не является корнями уравнения (23.1), поэтому при исходное уравнение не может единственного корня.

2. Исходное уравнение равносильно уравнению

.

Сделаем замену Тогда Исходное уравнение принимает вид (23.2)

Исходное уравнение и уравнение (23.2) имеют одинаковое число решений при одних и тех же значениях параметра а (так как , то для каждого значения t находится единственное значение х).

Перепишем уравнение (23.2) в виде Так как то уравнение (23.2), имеет решение, если

Из последней системы следует, что уравнение (23.2), имеет решение, если

Замечание. Если точка является корнем уравнения (23.2) при _, то является корнем этого уравнения при . Это следует из того, что и

Из замечания следует: если уравнение (23.2), а значит и исходное уравнение, имеет один корень при , то оно имеет также один корень при .

Рассмотрим исходное уравнение при Имеем

где и (23.3)

Уравнение (23.3) равносильно совокупности

2. На плоскости при построим множество точек, удовлетворяющих совокупности (23.4).

Для построения множества точек проделаем следующее.

Приравняем нулю выражение, стоящие под знаком модуля ,

где и получим уравнение . Построим прямую . Эта

прямая разобьют плоскость на 2 области. В области I выполняется неравенство где а в области II – где

Рассмотрим совокупность (23.4) в каждой области.

1) В области I совокупность (23.4) равносильна совокупности

а) Если то

Графиком функции где является часть параболы. Так как абсцисса вершины параболы не принадлежит отрезку и ветви параболы направлены вверх, то на этом отрезке функция возрастает. Поэтому для построения части параболы найдём следующие значения функции ,

Отметим: точки принадлежат области I.

Строим часть параболы где

б) Если то

Графиком функции где является часть параболы. Так как абсцисса вершины параболы не принадлежит отрезку и ветви параболы направлены вниз, то на этом отрезке функция убывает. Поэтому для построения части параболы найдём следующие значения функции : ,

Отметим: точки принадлежат области I.

Строим часть параболы где