Графический метод

2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет не менее трёх корней.

Решение. Рассмотрим функции

Уравнение задаёт семейство прямых, проходящих через начало координат (исключая ось ординат). На рисунке 8 изображён график функции а также графики представителей семейства .

Отметим. Парабола и прямая (не параллельная оси ординат) могут 1) пересекаться в одной точке (прямая является касательной к параболе); 2) пересекаться в двух точках; 3) не пересекаться.

Исходное уравнение имеет три корня при тех значениях параметра а, при которых графики функций пересекаются в трёх точках.

Если касательной к параболе является прямая и абсцисса точки касания , то прямая

пересекает график функции в трёх точках (рис. 8).

Найдём значение параметра .

Отметим: прямая является касательной к параболе ^{, если имеет единственное решение система уравнений}

Последняя система имеет единственное решение, если имеет единственное решение квадратное уравнение

Прямая является касательной к параболе , если имеет единственное решение квадратное уравнение

.

^{Квадратное уравнение имеет единственное решение при тех значениях параметра , при которых равен нулю дискриминант D этого уравнения. Имеем}

Так как дискриминант D квадратного уравнения равен нулю при или то решением квадратного уравнения является , где или Точка является абсциссой точки касания прямой и параболы. Если то прямая пересекает график функции в трёх точках.

Если , то не удовлетворяет условию .

Если то , удовлетворяет условию . Тогда

прямая пересекает график функции в трёх точках. Итак, исходное уравнение при имеет три корня.

2. Исходное уравнение имеет четыре корня при тех значениях параметра а, при которых графики функций

пересекаются в четырёх точках.

Из рисунка 8 следует, что прямая , где , пересекает график функции в четырёх точках. Тогда исходное уравнение при имеет четыре корня.

Ответ. .

Метод областей

3. Решите уравнение .

Решение. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих исходному уравнению.

Для построения множества точек проделаем следующее.

1. Приравняем нулю выражения, стоящие под знаком модуля: и . Откуда следует: и .

На плоскости построим прямые и . Эти прямые разобьют плоскость на 4 области.

2. Рассмотрим исходное уравнение в каждой области. Для этого надо раскрыть модули в каждой области.

Замечание. При раскрытии модулей надо учитывать знак выражения, стоящего под модулем в соответствующей области. Так как знак в каждой области постоянный, то знак выражения в области совпадает со знаком выражения в любой точке этой области.

1) В области I исходное уравнение равносильно системе

В области I строим часть прямой , которая параллельна прямой и пересекает прямую в точке А(–1; 3,5).

2) В области II исходное уравнение равносильно системе

В области II строим часть прямой , которая параллельна оси абсцисс и пересекает прямые и соответственно в точках А(–1; 3,5) и В(–3,5; 3,5).

3) В области III исходное уравнение равносильно системе

В области III строим часть прямой , которая параллельна оси ординат и пересекает прямую в точке В(–3,5; 3,5).

4) В области IV исходное уравнение равносильно системе

Ни одна точка не удовлетворяет последней системе.

График исходного уравнения изображён на рисунке 9 (графиком исходного уравнения является совокупность части прямых: , , ). Для того чтобы найти решения исходного уравнения при каждом значении параметра , надо провести прямые (если прямая пересекает график исходного уравнения в n точках, то исходное уравнение при имеет n решений) и найти абсциссы точек пересечения графиков исходного уравнения и прямой . Из рисунка 9 следует ответ.

Ответ. При уравнение не имеет решений; при решением уравнении являются (уравнение имеет бесконечное множество решений); при уравнение имеет два решения ,

4. Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение на отрезке ?

Метод интервалов.

Решение. 1. Если то уравнение на отрезке не имеет решений, так как оно принимает вид

2. Пусть

Имеем .

Замечание. Если пара удовлетворяет уравнению, то и пара ^{также удовлетворяет этому уравнению.}

Из замечания и 1. следует: уравнение надо рассмотреть при

Если , то исходное уравнение равносильно уравнению

, где и (4.1)

Раскрывая модули, на отрезке заменим уравнение (4.1) равносильной совокупностью уравнений

2) Рассмотрим первое уравнение совокупности (4.2), если

Так как то , а тогда

Решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения, на отрезке является , если

Итак, если , то является решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения на отрезке .

3) Рассмотрим второе уравнение совокупности (4.2), если

а) Если то легко проверить, что уравнение , а ^{значит и исходное уравнение, не имеет решений.}

^{б) Пусть Тогда}

Решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения, на

промежутке при является , если

Итак, если , то является решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения на промежутке .

Из 1. и 2. с учётом замечания следует ответ.

Ответ. Если , то нет решений; если , то одно решение; если , то два решения.

Метод областей.

Решение. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих уравнению

, где и (4.3).

Уравнение (4.3) равносильно совокупности (см. первый метод)

(4.2)

Легко проверить, что не удовлетворяет исходному уравнению. Поэтому рассмотрим первое уравнение совокупности (4.2) при . Имеем

На отрезке строим часть гиперболы , асимптотой кото^{рой является прямая . Гипербола пересекает прямую в точке А .}2. Второе уравнение совокупности (4.2) равносильно системе

На промежутке строим часть гиперболы , асим^{птотой которой является прямая . Гипербола пересекает пря-}

^{мую в точке В .}

График уравнения (4.3) изображён на рисунке 10.

Из рисунка 10 для и замечания следует ответ.

Ответ. Если , то нет решений; если , то одно решение; если , то два решения.

Графический метод.

Решение. Если , то исходное уравнение равносильно уравнению (4.3)

Рассмотрим функции ^{, где и .}

1. Графиком функции , где , является часть прямой, проходящей через точки А(–3; 2) и В(5; 10).

2. Графиком семейства функций является «подвижный уголок» с неподвижной вершиной в точке С(–1; 0) и подвижными сторонами

3. Найдём при каких значениях параметра а график функции проходит через точку А(–3; 2) и определим сколько решений имеет исходное уравнение в этом случае.

а) График функции проходит через точку А(–3; 2), если

б) Если , то функция принимает вид и на отрезке имеем

в) Так как прямая параллельна прямой , а прямая пересекает прямую в точке А(–3; 2), то график функции на отрезке пересекает прямую в одной точке А(–3; 2) (рис.11). Тогда исходное уравнение при имеет единственное решение.

4. Найдём при каких значениях параметра а график функции

проходит через точку В (5; 10) и определим сколько решений имеет исходное уравнение в этом случае.

а) График функции проходит через точку В (5; 10), если

б) Если , то функция принимает вид и на отрезке имеем

в) Точку пересечения прямых , , где найдём из системы

Прямые , пересекаются на отрезке в точке С(–2,5; 2,5).

г) Точку пересечения прямых и , где найдём из системы

Прямые , на промежутке пересекаются в точке В(5; 10).

д) График функции на отрезке пересекает прямую в двух точках: В(5; 10), С(–2,5; 2,5) (рис.11).

Исходное уравнение при имеет два решения.

Из рисунка (рис.11) для и замечания следует ответ.

Ответ. Если , то нет решений; если , то одно решение; если , то два решения.

Замечание. Графический метод даёт наглядную интерпретацию решения задачи. С помощью этого метода может быть получен ответ наглядно и быстро, но очень часто только графическая интерпретация оказывается недостаточной и для полного обоснования требуются дополнительные исследования.

5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень; имеет два корня; не имеет корней?

Решение. 1. Рассмотрим функции где . Построим графики функций и при (областью определения функции является интервал ).

Графиком функции , где является «уголок» с вершиной в точке А(2; 1) и сторонами

Функция для каждого значения параметра а задаёт семейство логарифмических функций, проходящих через точку В(1; 0).

На рисунке 12 а) изображён график функции , где а на рисунке 12 б) изображён график функции , если , при некоторых значениях параметра .

2. Если график функции проходит через точку А(2; 1), то он может пересекать график функции в одной точке А(2; 1) или в двух точках (одна из этих точек А(2; 1)). В этом случае исходное уравнение имеет одно или два корня.

График функции проходит через точку А(2; 1), если

При исходное уравнение принимает вид

(5.1)

3. Уравнение (5.1) равносильно совокупности уравнений

(5.2)

1) Рассмотрим первое уравнение совокупности (5.2).

Так как функция убывает, а функция возрастает, то графики функций пересекаются только в одной точке – это точка (2; 1), а тогда уравнение (5.1) при , а значит и исходное уравнение при и , имеет единственный корень: .

2) Рассмотрим второе уравнение совокупности (5.2).

Найдём число точек пересечений графиков функций при

Рассмотрим функцию

Найдём промежутки монотонности функции ^.

а) Найдём производную функции . Имеем

б) Определим знак если

Так как ^{, то} . Так как функция убывает, если то , а тогда

Таким образом, если . Тогда функция возрастает на интервале

Так как и функция возрастает на интервале , то

(5.3)

Из системы (5.3) следует: графики функций и

не пересекаются при . Это означает, что уравнение (5.1) при , а значит и исходное уравнение при и не имеет корней.

Из 1) и 2) следует, что уравнение (5.1), а значит и исходное при , имеет единственный корень.

4. Построим графики функций и при и . Для этого воспользуемся следующим: так как то найдётся такое значение что для всех выполняется неравенство

На рисунке 12 в) изображены графики функций

если ^{и .}

Из рисунка 12 в) следует ответ.

Ответ. Один корень, если ; два корня, если ; нет корней, если

6. Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет единственный корень.

Решение. Рассмотрим функции

Построим графики функций и при (областью определения функции является интервал ).

Графиком функции , где , является «уголок» с вершиной в точке А(2; 1) и сторонами

Функция для каждого значения параметра а задаёт семейство логарифмических функций, проходящих точку В(1; 0).

На рисунке 14 а) и изображён график функции , где а на рисунке 14 б) изображён график функции , если , при некоторых значениях параметра .

2. Если график функции проходит через точку А(2; 1), то он может пересекать график функции в одной точке А (2; 1) или в двух точках (одна из этих точек А (2; 1)). В этом случае исходное уравнение имеет одно или два корня.

График функции проходит через точку А(2; 1), если

При исходное уравнение принимает вид

(6.1)

3. Уравнение (6.1) равносильно совокупности уравнений

(6.2)

1) Рассмотрим первое уравнение совокупности (6.2).

Так как функция убывает, а функция

возрастает, то графики этих функций пересекаются только в одной точке – это точка А(2; 1), а тогда уравнение (6.1) при , а значит и исходное уравнение при и , имеет единственный корень: .

2) Рассмотрим второе уравнение совокупности (6.2).

Найдём число точек пересечений графиков функций ,

при

Рассмотрим функцию

Найдём промежутки монотонности, точки экстремума функции

а) Найдём производную функции . Имеем

_{б) Из уравнения находим критические точки. Имеем}

_{(Отметим: ).}

б) Критическая точка разбивает интервал на интервалы , на каждом из которых сохраняет знак.

в) Определим знаки функции . Знаки функции показаны на рисунке 13.

г) Из рисунка 13. делаем вывод.

Функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке (критическая точка, в которой функция определена, принадлежит и промежутку возрастания, и промежутку убывания).

В точке функция имеет минимум. Так как функция убывает на промежутке и то на этом промежутке функция отрицательная. Тогда .

Замечание. Если функция непрерывна на отрезке [a; b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков, то существует такая точка что

Вычислим:

Так как , и функция непрерывна при , то существует такая точка что Это означает, что функции и пересекаются в точке Тогда уравнение (6.1) при , а значит и исходное уравнение при и , имеет корень.

Из 1) и 2) следует, что исходное уравнение при имеет два корня.

4. Построим графики функций и , если при .

Для этого воспользуемся следующим: так как то найдётся такое значение что для всех выполняется неравен_ство

На рисунке 14 в) изображены графики функций где , и если и . Из рисунка 14 в) следует, что уравнение ни при каких значениях параметра не имеет единственного корня.

Ответ.

7. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственный корень; имеет два корня; не имеет корней?

Решение. Так как то исходное уравнение имеет решение, если

Рассмотрим функции , , где

1. На плоскости построим график функции ^{, где Имеем}

Найдём: и построим график функции ^{, где}

^{Для каждого значения параметра функция задаёт семейство показательных функций, которые проходят}

через точку В(0; 1).

На рисунках 15 а) и б) соответственно изображены графики функций и , где .

2. Если график функции проходит через точку А(3; 2), то он может пересекать график функции в одной точке А(3; 2) или в двух точках (одна из этих точек А(3; 2)). В этом случае исходное уравнение имеет одно или два корня.

График функции проходит через точку А(3; 2), если

При исходное уравнение принимает вид

, где (7.1)

3. Уравнение (7.1) равносильно совокупности уравнений

(7.2)

1) Рассмотрим первое уравнение совокупности (7.2).

Найдём число точек пересечений графиков функций и , где

Рассмотрим функцию

Найдём промежутки монотонности функции

а) Найдём производную функции . Имеем

б) Определим знак

Так как ^{, то} . Так как функция

возрастает, то , а тогда

Таким образом, если Тогда функция возрастает на интервале

в) Так как и функция возрастает на интервале , то имеем

Из последней системы следует, что графики функций и не пересекаются при . Это означает, что уравнение (7.1) при , а значит и исходное уравнение при и , не имеет корней.

2) Рассмотрим второе уравнение совокупности (7.2).

Так как функция убывает, а функция возрастает, то графики этих функций пересекаются только в одной точке – это точка А(3; 2), а тогда уравнение (7.1) при а значит и исходное уравнение при и имеет единственный корень.

Из 1) и 2) следует, что уравнение (7.1), а значит и исходное при , имеет единственный корень.

На рисунке 15 в) изображены графики функций , где , , где

Из рисунка следует ответ.

Ответ. Если то корней нет; если то единственный корень; если или , то два корня.

8. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение не имеет решений.

Решение 1. Имеем

_{Исходное уравнение не имеет решений, если одновременно не имеют решений оба уравнения совокупности (8.1).}

_{Возможны следующие случаи.}

_{1) Если то первое уравнения совокупности (8.1) не имеет}

_{решений, а второе уравнение – имеет решение (это легко проверить). Это означает, что исходное уравнение при имеет решение.}

_{2) Если то второе уравнения совокупности (8.1) не имеет решений. Первое уравнение совокупности (8.1) при принимает вид}

_{Так как уравнение не имеет решений, то и первое уравнения совокупности (8.1) не имеет решений Это означает, что исходное уравнение при не имеет решений.}

_{3) Если то исходное уравнение равносильно совокупности}

_{Совокупность (8.2) не имеет решений при тех значениях параметра а, которые удовлетворяют системе}

_{Из последнего двойного неравенства следует, что исходное уравнение при не имеет решений.}

_{Из 2) и 3) следует ответ.}

Ответ. .

9. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет не менее двух решений.

Решение. 1. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих уравнению .

Найдём нули выражений, стоящих под знаком модуля:

Нули выражений, стоящих под знаком модуля:

2. Так как функция линейная на каждом промежутке , , , , то для построения графика функции проделаем следующее.

1) Найдём значения функции в точках и в

точках (принадлежит промежутку ) и (принадлежит интервалу ). Имеем .