Тема 2. Сети без контуров. Свойства сетей без контуров.
Свойства.
Всякая сеть без контуров с конечным числом вершин имеет, по крайней мере, один источник и, по крайней мере, один сток.
Доказательство.
Б
удем
доказывать наличие источника. Берем
произвольную вершину. Если она –
источник, то теорема доказана. Пусть
вершина не является источником, тогда
она имеет входящие дуги. Выберем любую
входящую дугу и перейдем к рассмотрению
вершины, которая является началом этой
дуги. Если она источник, то теорема
доказана, иначе эта вершина имеет
входящие дуги, вновь берем любую входящую
дугу и переходим к рассмотрению вершины,
которая является началом этой дуги. Так
как сеть не имеет контуров, то вершина
3 не может совпасть ни с вершиной 1, ни с
вершиной 2, то есть на каждом шаге мы
рассматриваем новую вершину, и так как
число вершин конечно, то через конечное
число шагов мы получим вершину-источник.
(см. рис. 2.1)
Рис. 2.1
Все вершины сети без контуров с конечным числом вершин можно занумеровать по следующему правилу:
Номер 1присваивается вершине-источнику.
Если k вершин занумерованы(k<n), то номер k+1присваивается либо ненумерованному источнику, либо вершине, в которую входят дуги только из нумерованных вершин.
Доказательство.
Т
ак
сеть без контуров имеет источники, то
существует вершина, которой можно
присвоить номер один. Пусть теперь k
вершин занумеровано. Берем любую
ненумерованную вершину: если она
источник, то присваиваем номер k+1
и теорема доказана, иначе вершина имеет
входящие дуги. Рассмотрим все входящие
дуги и все вершины, являющиеся началами
этих дуг, если все эти вершины занумерованы,
то номер k+1
присваивается рассматриваемой вначале
вершине и теорема доказана. Если среди
вершин-начал дуг есть ненумерованные,
то рассмотрим одну из этих вершин, если
она источник, то присваиваем ей k+1
номер и теорема доказана, если нет, то
переходим к рассмотрению вершин,
являющихся вершинами-началами дуг. Так
как число вершин конечно и сеть не имеет
контуров, то все вновь рассматриваемые
вершины отличаются от рассмотренных
ранее и, следовательно, через конечное
число шагов получим ненумерованный
источник, либо вершину, в которую входят
дуги только нумерованных вершин.
Такая нумерация называется правильной нумерацией.
Рис. 2.2
Если вершины сети без контуров правильно занумерованы, то матрица смежности этой сети является верхнетреугольной, то есть если существует дуга (i, j), то для нее i<j(обязательно).
Замечание2.1. В дальнейшем будем рассматривать сети без контуров с одним источником и одним стоком, тогда источник имеет номер 1, сток – номер n.
Замечание 2.2. Правильная нумерация возможна только для сетей без контуров. Рассмотрим рис. 2.3 и рис. 2.4, на этих рисунках представлены сети, имеющие контуры.
Рис. 2.3
Рис. 2.4
На рис. 2.3 номер 1 не может быть присвоен никакой вершине так как сеть не имеет источника. На рис. 2.4 номер 1 может быть присвоен, однако не существует вершины, которой можно присвоить номер 2.
П
ример.
Рис. 2.5