Тема 1. Оптимизация на сетях.

Графом называется совокупность конечного подмножества натуральных чисел (вершин) N и совокупность пар чисел (дуг или рёбер) U.

Если тогда граф называется ориентированным и при этом если

(i, j) –дуга, то вершина i считается началом дуги, аj– концом.

Если (i, j) = (j, i) то граф неориентированный и его дуги часто называются ребрами.

Говорят: дуга (i, j) связывает вершины iи j.

Последовательность дуг вида (i₁, i₂), (i₂, i₃) … (i_k-1, i_k) называется путем, связывающим вершины i₁и i_k.

Если дуги неориентированные, то путь неориентированный.

В ориентированном графе можно рассматривать, в том числе неориентированные пути.

Пример 1.

Рис. 1.1

Рассмотрим ориентированный граф. В нем есть ориентированные пути 1- 2, 3-2, 1-3, 1-3-2, однако можно выбрать и неориентированный путь 2-1-3.

Граф называется связным, если любые две его вершины могут быть связаны путем, возможно неориентированным.

Так например вершины 2, 3 могут быть связаны путем 2-3.

Путь, в котором i₁ = i_k называется циклом, если этот путь неориентированный, и контуром, если путь ориентированный.

Так пример 1 имеет цикл 1-2,2-3, 3-1, но нет контуров.

Для ориентированных графов можно ввести следующие определения:

- Вершина связного графа называется источником, если из нее дуги только выходят.

- Вершина графа называется стоком, если в нее дуги только входят.

- Вершина называется промежуточной, если она имеет и входящие, и исходящие дуги.

Для ориентированного графа в примере 1, вершина 1- источник, 2-сток, 3- промежуток.

Для всех вершин можно ввести подмножество дугU_i⁺и U_i^-, где

U_i⁺- множество дуг, выходящих из i;

U_i^-- множество дуг, входящих в i.

В частности, в примере 1, для вершины 1:

U₁⁺ -дуги (1,2),(1,3)

U₁^-=

Для вершины 2:

U₂⁺ =

U₂^-- дуги (1,2), (3,2)

Для вершины 3:

U₃⁺ - (1,3)

U₃^-- (3,2)

Заметим, что у источников U_i^- - пустое множество, а у стоков U_i⁺ - пустое множество, при этом каждая дуга (i,j) графа Gвходит в два множества U_i⁺ и U_j^-.

Определение. Деревом, полученным из графа G, называется подграф, состоящий из всех вершин G и подмножества дуг U, включающее в себя минимальное число дуг, сохраняющих связность графа.

Свойства дерева:

1. Если граф имеет n вершин, то число дуг дерева равно n-1

2. Всякое дерево имеет, по крайней мере, 1 источник и 1 сток (орграф)

3. Любые две вершины дерева могут быть связаны единственным путем, не обязательно ориентированным

4. Дерево не имеет циклов

5. Если к дереву добавить ровно одну дугу, то появится ровно один цикл

Определение. Сетью называется орграф, каждой дуге которого приписано число c_ij, которой можно интерпретировать в зависимости от задачи как вес дуги, длина дуги. Кроме того каждой вершине сети может быть приписано числоT_i, называемое интенсивностью вершины. Для интенсивностей выполнено уравнение баланса:

В дальнейшем мы будем рассматривать только ориентированные графы. Любой граф можно задать матрицей смежности (состоящей из 0 и 1, если есть дуга (i, j), то в ячейке с координатами [i, j] будет стоять 1, иначе - 0). Если мы имеем сеть, то в матрице смежности вместо 1 будем писать соответствующие c_ij. Для примера 1 матрица смежности будет иметь вид:

	1	2	3
1		1	1
2
3		1

Рис 1.2

Сетевая транспортная задача.

Постановка задачи (вербальная модель): пусть имеются n пунктов (городов), связанных транспортной сетью, заданной ориентированным графом, в части из этих городов имеется продукция в количестве T_i> 0, часть городов является потребителем, |T_i| - количество продукции, которое необходимо данному потребителю, и T_i< 0, а оставшееся часть городов – перевалочные пункты, для нихT_i = 0. c_ij – стоимость перевозки единицы продукции по дороге из i-го пункта в j-ый. Требуется сформировать план перевозок продукции, минимизирующий суммарную стоимость перевозок. Количество перевозимой продукции по отрезку транспортной сети между i-ым и j-ым городами будем называть потоком по дуге(i,j).