Конвейерная система с тремя и более приборами

Как было показано выше, задача построения оптимального расписания с двумя приборами имеет полимиальную сложность.

К сожалению, если система имеет три и более прибора, то в общем случае она является NP-трудной задачей, то есть не существует простых алгоритмов построения оптимального расписания для такой системы.

Однако существуют частные случаи, в которых возможно построение оптимального расписания с помощью простых алгоритмов.

Будем рассматривать в дальнейшем систему с тремя приборами. Длительность обслуживания требований на первом, втором и третьем приборах обозначим , и соответственно.

Вычисление длины расписания для системы с тремя приборами.

Пусть время обслуживания требований на первом, втором и третьем приборах , , и , , – моменты завершения обслуживания требования, стоящего на i-м месте в расписании на первом, втором и третьем приборах соответственно.

Тогда

,

,

,

,

,

,

откуда .

Пример 4.4. Дано пять деталей, которые последовательно обрабатываются на трех станках. Время обработки каждой детали на каждом станке указано в рис. 4.27. Вычислить длину расписания.

Рис. 4.27

i	1	2	3	4	5
	3	1	5	2	4
	1	3	2	4	5
	2	5	3	1	4

Расписание . Длина расписания вычисляется на (рис.4.28)

Рис. 4.28

	2	4	5	3	1
	1	3	7	12	15
	4	8	13	15	16
	9	10	17	20	22

Здесь общее время обслуживания составит .

Системы, для которых возможно построение оптимального расписания.

Как было сказано выше, задача для системы с тремя приборами является NP-трудной. Однако существуют частные случаи, для которых возможно построение оптимального расписания с помощью конструктивного алгоритма.

Можно показать, что если

(4.14)

или

, (4.15)

то достаточным условие оптимальности расписания является условие

,

следовательно, если система удовлетворяет условию (4.14) или (4.15), то при введении

,

,

можно свести задачу к системе с двумя приборами и найти оптимальное расписание с помощью алгоритма построения расписания (алгоритма Джонсона).

Заметим, что длина найденного расписания будет искаться для исходной системы.

Пример 4.5. Имеются пять деталей, которые последовательно обрабатываются на трех станках. Время обработки каждой детали на каждом станке указано на (рис.4.29)

Рис. 4.29

i	1	2	3	4	5
	3	4	5	4	6
	3	1	2	4	3
	2	5	1	6	4

Данная система удовлетворяет условию (4.14). Сведем ее к системе с двумя приборами (рис.4.30) и решим с помощью алгоритма Джонсона

Рис. 4.30

i	1	2	3	4	5
	6	5	7	8	9
	5	6	3	10	7

В соответствии с требованиями алгоритма разобьем требования на группы (рис.4.31):

Рис. 4.31

I группа					II группа
i	2	4				i	1	3	5
	5	8					5	3	7

Оптимальное расписание . Длина расписания вычисляется на (рис.4.32)

Рис. 4.32

	2	4	5	1	3
	4	8	14	17	22
	5	12	17	20	24
	10	18	22	24	25

Здесь общее время обслуживания составит .

Эвристические алгоритмы.

Поскольку построение оптимального расписания с помощью конструктивных алгоритмов для системы с тремя и более приборами возможно только в редких и частных случаях, то для построения сколько-нибудь приемлемых расписаний важную роль приобретают эвристические алгоритмы.

Здесь предлагаются три наиболее известных правила построения субоптимальных расписаний для системы с тремя приборами.

Правило 1. Сведение к двум приборам.

Как было сказано выше, это правило дает оптимальное расписание для частных случаев. Однако можно предположить и опыт показывает, что это действительно так, что его (правило) можно использовать для систем общего вида.

Правило 2. Вперед требование с ближайшей кратчайшей операцией (то есть требования должны сортироваться в порядке ).

Оно основано на идее сортировки в первой группе для системы с двумя приборами.

Правило 3. Вперед требование с длиннейшей остающейся технологией ( ).

Основано на идее сортировки во второй группе.

Решать задачу построения субоптимальных расписаний надо следующим образом: применить все эвристические правила, для каждого полученного расписания, вычислить его длину и выбрать расписание с наименьшей длиной. Такое расписание будет называться рекордным, а его длина – рекордом, то есть рекордное расписание не обязательно оптимально, но является наилучшим из известных.

Следует отметить, что при применении каждого из правил может быть получено не одно, а несколько расписаний, это возможно в том случае, когда некоторое соотношение, используемое в данном правиле, выполняется как строгое равенство, то есть, например, (второе правило), тогда можно взять два расписания: , в другом .

Пример 4.6. Имеются пять деталей, которые последовательно обрабатываются на трех станках. Время обработки каждой детали на каждом станке указано на (рис.4.33)

Рис. 4.33

i	1	2	3	4	5
	3	7	7	4	1
	1	6	10	7	2
	1	9	4	3	9

Применим Правило 1: сведем исходную задачу к задаче с двумя приборами, полученную задачу (рис.4.34) решим с помощью алгоритма Джонсона.

Рис. 4.34

i	1	2	3	4	5
	4	13	17	11	3
	2	15	14	10	11

В соответствии с требованиями алгоритма разобьем требования на группы (рис.4.35):

Рис. 4.35

I группа					II группа
i	2	5				i	1	3	4
	13	3					2	14	10

Получим расписание длина которого вычисляется на (рис.4.36)

Рис. 4.36

	5	2	3	4	1
	1	8	15	19	22
	3	14	25	32	33
	12	23	29	35	36

Здесь общее время обслуживания составит .

Применим Правило 2. Вперед требование с ближайшей кротчайшей операцией.

, . Вычислим длину каждого расписания (рис.4.37). Рис. 4.37

	5	1	4	2	3
	1	4	8	15	22
	3	5	15	21	32
	12	13	18	30	36

Здесь (рис.4.38).

Рис. 4.38

	5	1	4	3	2
	1	4	8	15	22
	3	5	15	25	31
	12	13	18	29	40

Здесь . (рис.4.39)

Применим Правило 3. Вперед требование с длиннейшей остающейся технологией.

. Вычислим длину расписания (рис.4.39).

Рис. 4.39

	2	3	5	4	1
	7	14	15	19	22
	13	24	26	33	34
	22	28	37	40	41

Здесь .

Здесь два рекордных расписания , со значением рекорда .

Оценки длины расписаний.

Пусть найдено рекордное расписание с длиной .

Хотелось бы знать, насколько полученное расписание близко оптимальному. Для этого найдем нижнюю оценку длины расписания для всех , тогда если , то – оптимальное расписание.

Если же , то определятся близость рекордного расписания к оптимальному по тому, насколько рекорд отклоняется от нижней оценки. При этом, конечно, важно, чтобы было насколько возможно ближе к точной нижней грани длин расписаний. Для системы с тремя приборами в качестве нижней грани можно предложить следующее выражение:

	(4.16)
	(4.17)
	(4.18)

Формула (4.16) отражает тот факт, что длина расписания не может быть меньше, чем время работы первого прибора в сумме со временем обслуживания на втором и третьем приборах последнего требования.

Формула (4.17) означает, что длина расписания не может быть меньше чем время работы второго прибора с учетом обслуживания первого требования на первом приборе и последнего требования на третьем приборе.

Формула (4.18) означает, что длина расписания не может быть меньше чем время работы третьего прибора в сумме с временем обслуживания требования, стоящего на первом месте в расписаниях на первом и втором приборах.

Найдем оценку длины расписания для примера 4.6.

Здесь

,

,

.

.

Рекорд , то есть мы не можем гарантировать оптимальности рекордного расписания. Значение рекорда достаточно сильно отличается от нижней оценки, однако возможно, что оценка слишком занижена.