2.5.4.2.Метод подстановки

Во многих случаях удаётся введением вместо х новой переменной t, связанной с х некоторым соотношением, свести к новому интегралу, который содержится в таблице или легко находится другим методом.

Этот метод получил название метода замены переменной или метода интегрирования подстановкой.

_{Теорема:} Пусть – непрерывная функция и дан интеграл . Вместо х введём новую переменную t, связанную с х соотношением , где – непрерывная, строго монотонная функция, имеющая непрерывную производную . Тогда

_{На основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:}

Пример 1. Найти .

Решение. Пусть , тогда .

Подставляя в исходный интеграл, получим: .

Пример 2. Найти

Решение. Пусть

Пример 3.

Пример 4. Найти .

Решение. Пусть . .

Подставляя в исходный интеграл выражения его частей через t, получим:

При сведении данного интеграла к табличному часто приходится использовать интегрирование подведением под знак дифференциала. Данный способ очень простой в своей основе, позволяет приводить интеграл к табличному, используя свойство инвариантности формул интегрирования, независимо от того, что является переменной интегрирования - независимая переменная х или функция U(х),т.е. если ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(U)dU=F(U)+C.

Таблица подведения функций под знак дифференциала

1		8		15
2		9		16
3		10		17
4		11		18
5		12		19
6		13		20
7		14		21

Пример 1. Найти .

Решение.

Пример 2. Найти .

Решение.

Пример 3. Найти

Решение.

Пример 4. Найти

Решение.

Пример 5. Найти

Решение.

2.5.4.3.Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференцирования произведения двух функций. Известно, что интеграл от произведения функций не равен произведению интегралов, здесь существует более сложная зависимость.

Если u=u(x) и v=v(x) – две дифференцируемые функции от х, то по правилу дифференцирования произведения имеем

интегрируя обе части, получим:

Выразим отсюда один из интегралов, стоящих в правой части:

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде двух сомножителей u и dv, затем после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использоваться несколько раз.

Типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

1) Интегралы вида

Удобно положить u=P(x), а за dv обозначить все остальные сомножители.

2) Интегралы вида

Удобно положить dv=P(x)dx, а за u обозначить все остальные сомножители.

3) Интегралы вида

Удобно положить u=e^ax

Пример 1. Найти ∫xsinxdx.

Решение.

Пример 2. Найти ∫ xlnxdx.

Пример 3. Найти

Решение.

_{Пример 4.} Найти

_{Решение.}

Нередко при вычислении интегралов использование повторного применения интегрирования по частям приводит снова к первоначальному интегралу. Получается уравнение, из которого и находится искомый интеграл. Такие интегралы принято называть возвратными

Пример 5. Найти

Решение.

_{Решим уравнение относительно неизвестного интеграла:}