2.4.2. Частные производные.

Определение. Частной производной от функции по независимой переменной называется производная

, вычисленная при постоянном .

То есть когда мы находим частную производную по «икс», то переменная считается константой (постоянным числом).

Частной производной от функции по независимой переменной называется производная

, вычисленная при постоянном .

То есть когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная  считается константой (постоянным числом).

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Следующий пример демонстрирует применение частных производных на практике:

Количественная величина потока П пассажиров железных дорог может быть выражена функцией

где П – количество пассажиров, N – число жителей корреспондирующих пунктов, R – расстоянии между пунктами.

Частная производная функции П по R, равная

показывает, что уменьшение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между корреспондирующими пунктами при одной и той же численности жителей в пунктах.

Частная производная П по N, равная

показывает, что увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей населённых пунктов при одном и том же расстоянии между пунктами.

Примеры.

_а) Найти частные производные функции

Решение.

1.Считаем переменную y константой и применяем правила дифференцирования:

_{2. Используем табличные производные:}

3. Теперь считаем переменную х константой и применяем те же правила дифференцирования и табличные производные:

_б) Найти частные производные функции

_{Решение.}

_1. Считаем переменную y константой, применяем правило дифференцирования сложной функции, правило дифференцирования суммы, правило вынесение постоянного множителя за знак производной и табличную производную:

2. Теперь считаем переменную х константой и применяем те же правила дифференцирования и табличные производные:

2.4.3. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Определение. Полным приращением функции в точке М(х;у) называется разность , где и произвольные приращения аргументов.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке М(х;у), если в этой точке полное приращение можно представить в виде .

Определение. Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов и , то есть

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле:

.

Для функции трех переменных

При достаточно малом для дифференцируемой функции справедливы приближенные равенства , которые применяются для приближенного вычисления значения функции:

Примеры

а) Вычислить приближенное значение функции в точке М(2,15; 1,25) с помощью полного дифференциала. Ответ сравнить с вычислением на калькуляторе.

Решение.

Используем формулу:

1.Выберем точку с целыми координатами, ближайшую к М - М₀(2;1).

_Тогда:

_{2. Найдем значение функции в точке М0}

_{3. Вычислим частные производные данной функции и найдем их значения в точке М0}

_{4. Вычислим полный дифференциал и данной функции в точке М0}

5. Найдем значение функции в точке М:

6. С помощью калькулятора вычислим точное значение функции в данной точке:

б) С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора.

Решение:

_{1.Введем функцию}

Тогда:

_{2. Найдем значение функции в точке (х0;у0)}

_{3. Вычислим частные производные данной функции и найдем их значения в точке (х0;у0)}

_{4. Вычислим полный дифференциал и данной функции в точке (х0;у0)}

5. Таким образом, приближенное значение данного выражения:

6. Значение, вычисленное с помощью микрокалькулятора: 2,007045533