3D печать
Индустрия быстрого прототипирования и 3D печати, в частности, появились около 30 лет назад17 18 19 20 21 и некоторыми считается частью промышленной революции, в которой производство становится цифровым, личным и доступным22 23 24 . Впервые реализованная в 1994 году с печатью восковым материалом, технология перешла на другие материалы, такие как акрилатные фотополимеры или металлы и в настоящее время входит в ранг потребительских технологий.
Центры печати могут печатать в цвете, различными материалами и в высоком качестве. Развитие 3D-печати является последним звеном в цепочке методов визуализации. Мы живем в захватывающее время, потому что мы переживаем не одну, но две революции одновременно: информационную революцию и промышленную революцию. Эти изменения также влияют на математическое образование25. 3D печать в настоящее время используется в медицине, авиапромышленности, для создания прототипов роботов, в создании произведений искусства и ювелирный изделий, чтобы построить нано-структуры, велосипеды, корабли, схемы, для производства художественных работ, роботов, оружия, домов и даже используется для украшения тортов. Его использование в сфере образования была исследована в9. Поскольку физические модели важны для практического активного обучения . Технология 3D печати в образовании использовалась с некоторого времени26 и рассмотрена для27 устойчивого развития для получения образования К-12 в проектах STEM28 (science, technology, engineering and mathematics - наука, технология, инженерия, математика - прим. ред.), а также начального математического образования29 . Нет никаких сомнений, что это будет иметь огромное влияние в сфере образования30 31 .
Распечатанные модели позволяют иллюстрировать понятия в различных математических областях, таких как вычисления, геометрия или топология. Это уже привело к новым перспективам в математическом образовании. Литература о 3D печати сметается, так же как литература о компьютерах, когда ПК вышли на потребительский рынок. Например, книги 32 33 34. Что касается любой появляющейся технологии, её публикации могут быстро устареть, но они останутся ценным свидетельством захватывающего времени, в котором мы живем.
Реализация математики в жизнь
Чтобы проиллюстрировать визуализацию, используя 3D принтеры, сфокусируемся на математических моделях, созданных при помощи систем компьютерной алгебры . В отличие от средств 3D моделирования, у математических приложений есть преимущество - исходный код краток, и программы, использованные для иллюстрирования математики в исследованиях или в классе, могут быть повторно использованы. Многие примеры, данные здесь, были разработаны для классов или проектов и перерисованы так, чтобы они могли быть распечатаны. В отличие от «средств моделирования», приложений, которые создают большой список треугольников, системы компьютерной алгебры описывают и выводят на экран трехмерные объекты математически. Хотя мы также экспериментировали с другими приложениями, такими как «123D Design» от Autodesk, «Sketchup» от Trimble, средство моделирования «Free CAD», «Blender» или «Rhinoceros» от McNeel Accociates, в основном, мы работали с системами компьютерной алгебры и, в частности, с Mathematica35 36 37 38 39. Для объяснения на конкретном примере давайте рассмотрим теорему Ньютона по «числу касаний» сферы, где говорится, что число соприкасающихся сфер в трехмерном пространстве равняется 12. Теорема гласит, что максимальное число сфер, которые могут быть размещены вокруг данной сферы, равняется двенадцати, если все сферы имеют такие же радиусы, касаются центральной сферы и не перекрываются.
В то время, как современник Ньютона Грегори думал, что можно поместить тринадцатую сферу, Ньютон считал что число касаний лишь 12. Теорема была доказана только в 1953 году40. Для доказательства этой теоремы, возьмите икосаэдр с длиной стороны 2 и поместите единичные сферы на каждую из 12 вершин и они соприкоснутся с единичной сферой, помещенной в центре. Доказательство невозможности поместить 13 сфер41 использует элементарный расчет42 для площади сферического треугольника, Эйлерову формулу многогранника, дискретную теорему Гаусса-Бонне, утверждающую, что сумма кривизны равна 2, и немного комбинаторики для проверки всех вариантов многогранника, подходящих под ограничения. Для визуализации использовалась Mathematica, мы изобразили 12 сфер, касающихся центральной сферы. Хотя объект состоит только из 13 сфер, весь массив сделан из 8640 треугольников. Код Mathematica очень короткий, так как нам нужно вычислить только координаты вершин икосаэдра, сгенерировать объект и экспортировать в файл STL. Отобразив на экране исходный код, мы показали визуализацию, такую же как устное доказательство. Если код ввести в компьютер, тот сгенерирует печатаемый файл STL.
Анализ жизнеспособности
Физические модели важны для практического активного изучения. Возникло хранилище печатаемых для образования 3D моделей26. Технология 3D печати использовалась для образования K-12 в проектах STEM28 и начального математического образования29. Есть надежда, что это окажет большое влияние на образование30. Новая технология позволяет каждому создавать модели для класса. Но чтобы сделать это более доступным, есть еще много препятствий. Есть и хорошие новости: файлы STL могут быть легко сгенерированы, потому что формат прост и доступен. Файлы STL могут экспортироватся в другие форматы. Mathematica, например, позволяет импортировать и преобразовывать его в другие формы. Программы, такие как «Meshlab», позволяют манипулировать им. Программы заключительных преобразований, как «admesh», позволяют работать с файлами STL из командной строки. Другие автономные программы, «stl2pov», позволяют преобразовывать его в форму, которая может быть представлена в трассировщике лучей, таком как Povray. Один из важных аспектов заключается в том, что хорошее программное обеспечение для создания объектов не дешево. Использование коммерческой системы компьютерной алгебры такой, как Mathematica, может быть очень дорогостоящим, особенно если требуется корпоративная лицензия. Сейчас нет ни одного бесплатного приложения компьютерной алгебры, которое в состоянии экспортировать STL или 3DS или файлы WRL встроенными модулями. Система компьютерной алгебры SAGE, которая является самой сложной из систем с открытым кодом, имеет возможность экспорта только на экспериментальном уровне43. Кажется, что предстоит большая работа, чтобы закончить это.
Тем не менее, доступны множество ресурсов44 45. Следующие иллюстрации состоят из графиков Mathematica, которые можно распечатать. Зачастую требуется адаптация, потому что принтер не может распечатать объекты нулевой толщины.
Иллюстрации
Цель данной иллюстрации показать, что число соприкасающихся сфер - ≥ 12. Код Mathematica создавший этот объект, дан в тексте. Он создает файл, содержащий десятки тысяч треугольников, которые 3D принтер поймёт и сможет воплотить в физический объект. Распечатанный объект визуализирует, что на сфере остается очень мало свободного пространства. Ньютон и его современник Грегори имели разногласия по поводу того, достаточно ли этого места для размещения тринадцатой сферы.
Скручивание Дена в торе и раскрученный тор. Левое и правое изображения показывают два неизоморфных графа, но они имеют те же топологические и изоспектральные свойства для оператора Лапласа, что и для оператора Дирака. Это простейший пример пары неизометрических, но изоспектральных графов Дирака.
Все 26 Архимедовых и каталонских твердых частиц, соединенных с «драгоценным камнем» в форме двенадцатигранника Disdyakis. Правильная фигура, демонстрирующая большой ромбовидный двенадцатигранник с 30 точками искривления ⅓ и 12 точками искривления -⅔. Полное искривление равняется 2 и согласуется с Эйлеровой характеристикой. Это демонстрирует дискретную теорему Гаусса-Бонне46.
Ожерелье Антуана - совокупность Кантора в пространстве, чье дополнение неодносвязно. Сфера Александра, справа, является топологическими 3 шарами, которые являются односвязными, но у которых есть множество внешних точек, которые неодносвязны. Из сфер Александра получатся красивые серьги, если их распечатать.
Два типа доказательств Архимеда, что объем сферы - 4π/3 47 48 49. Первое предполагает, что площадь поверхности A известна. Формула V = Ar/3 может быть представлена путем разрезания сферы на множество маленьких четырехгранников объемом dAr/3. При подведении итогов по сфере, мы получаем Ar/3. Второе доказательство сравнивает половину объема сферы с дополнением конуса в цилиндре.
Копыто Архимеда, Архимедов купол (диэдр), пересечение цилиндров - твердые частицы, для которых Архимед мог вычислить объем с помощью сравнительных интеграционных методов50. Копыто - также объект, где Архимед должен был использовать предельную сумму, вероятно первую в истории человечества51.
Два из 6 регулярных выпуклых четырехмерных многогранников. Цвет - вершина в четырехмерном пространстве. Мы видим 120 ячеек и 600 ячеек.
Другая пара 6 регулярных выпуклых четырехмерных многогранников. Цвет - высота в четырехмерном пространстве. Мы видим 16 ячеек (аналог октаэдра) и 24 ячейки. Позже позволит составлять мозаику четырехмерного Евклидова пространства.
