14. Схарактеризуйте інформаційно-комунікаційні технології навчання математики молодших школярів.

Застосування ІКТ під час уроків математики дає можливість вчителю скоротити час на вивчення матеріалу з допомогою наочності і швидкості виконання роботи, перевірити знання які у інтерактивному режимі, що підвищує то ефективність навчання, допомагає реалізувати весь потенціал особистості – пізнавальний, моральний, творчий, комунікативний і естетичний, сприяє розвитку інтелекту, інформаційної культури учнів.

Використання ІКТ в процесі передбачає підвищення якості освіти, т. е. вирішення однієї з істотних проблем для сучасного суспільства.

Інформаційні технології, мій погляд, можна використовувати в різних етапах уроку математики:

— самостійне навчання із повною відсутністю чи запереченням діяльності вчителя;

— самостійне навчання з допомогоюучителя-консультанта;

— часткова заміна (фрагментарне, вибіркове використання додаткового матеріалу);

— використання тренінгових (тренувальних) програм;

— використання діагностичних та безліч контролюючих матеріалів;

— виконання домашніх самостійних і творчих завдань;

— використання комп'ютера для обчислень, побудови графіків;

— використання програм, які імітували досліди і лабораторні роботи;

— використання ігрових і цікавих програм;

— використання інформаційно-довідкових програм.

— графіка й багато мультиплікація допомагають учням розуміти складні логічні математичні побудови;

— можливості, надані учням, маніпулювати (досліджувати) різними об'єктами на екрані дисплея, змінювати їхнє руху, розмір, колір тощо. буд. дозволяють дітям засвоювати навчальний матеріал з найповнішим використанням органом почуттів та комунікативних зв'язків мозку.

Основними завданнями нових інформаційних технологій навчання є: інтенсифікація всіх рівнів навчально-виховного процесу, підвищення його ефективності та якості; побудова відкритої системи освіти, яка забезпечує кожній дитині можливість самоосвіти; системна інтеграція галузей знань; розвиток творчого потенціалу учня, його здібностей до комунікативної діяльності; формування інформаційної культури учнів; розвиток експериментально-дослідницької діяльності та культури навчальної діяльності; реалізація соціального замовлення, обумовленого інформатизацією сучасного суспільства (підготовка фахівців у галузі інформатики та обчислювальної техніки, користувачів засобів нових інформант них технологій).

15. Схарактеризуйте інтерактивні технології навчання математики молодших школярів.

Інтерактивні технології навчання, є ареною для самоствердження молодших школярів.

Вони сприяють формуванню у підростаючої особистості соціально-когнітивного компонента життєвої компетентності. За умов такого навчання, учні отримують основи знань про норми взаємодії в суспільстві, розвиток уміння будувати нові взаємовідносини; виховання миролюбності, гуманності, альтруїзму, ознайомлення з власним «Я», визначення в собі позитивних та негативних рис. В учнів молодшого шкільного віку формується фундамент громадянської позиції, політичного мислення; готовність до використання знань як інструмента розв’язання життєвих проблем, аналізу нестандартних ситуацій.

У результаті застосування інтерактивних технологій розвиваються та ускладнюються психічні процеси – сприймання, пам’ять, увага, уява тощо; забезпечується формування таких інтелектуальних умінь, як аналізувати, порівнювати, виділяти головне, а на основі цього критично мислити та приймати відповідальні рішення.

За умов інтерактивного навчання, учень вчиться робити свідомий вибір серед широкого спектру альтернатив і брати на себе відповідальність приймати самостійні рішення.

«Робота у парах» передбачає таку організацію навчання математики, коли учні, працюючи спільно, мають можливість обмінюватися думками, вносити пропозиції та обговорювати їх, здійснювати паралельно контроль за роботою партнера у спільному проекті та критично оцінювати власні дії. За видами роботи це може бути аналіз виконаного завдання іншим учнем, розв’язування у парі математичного завдання, складання учнями один для одного завдань з математичним змістом, формулювання спільної відповіді на запитання вчителя, перевірка правильності виконання завдання, пошук інших способів розв’язування арифметичної задачі тощо. Так, перевірка математичного диктанту, коли школярі «у парі» обмінюються зошитами, перевіряють правильність виконання, роблять зауваження (в усній формі, письмового) та оцінюють роботу іншого учня (балом, вербально). Різновидом «Роботи у парах» є об’єднання школярів у ротаційні трійки. Кожним трьом учням вчитель пропонує математичне завдання з кількома можливими варіантами відповідей, а учні трійки по черзі висловлює свою думку, після чого змінюється склад трійок і надається нове завдання школярам.

«Два – чотири – всі разом» - технологія, що передбачає розвиток у молодших школярів навичок спілкування у групах з різною кількістю учасників діалогу. Учням класу пропонується проблемне питання, ситуація вибору з часом на обдумування, після чого учні спочатку здійснюють пошук варіантів способів розв’язування у парі, визначають свій варіант виконання завдання, потім учотирьох обговорюють і визначають спосіб розв’язування. Завершальний етап роботи – колективне обговорення способів виконання математичного завдання.

«Карусель» - це така організація процесу навчання математики, коли школярі розташовуються у два кола (внутрішнє та зовнішнє) з різними функціями навчального діалогу. Учні внутрішнього кола ставлять запитання, формулюють певні твердження, а учні зовнішнього кола відповідають на поставлене запитання або спростують (підтверджують) висновки щодо означень математичних понять, існування математичних закономірностей чи властивостей арифметичних дій. Школярі зовнішнього кола складають динамічну групу, яка рухається по колу, змінюючи партнера спілкування.

«Акваріум»- форма організації математичної діяльності молодших школярів для розвитку навичок спілкування у малих групах, удосконалення умінь дискутувати та аргументовано висловлювати свою думку. 4- 6 учнів класу виходять до дошки ( у центр класної кімнати), ознайомлюються із завданням, обговорюють вголос можливі способи його розв’язування, тоді як інші учні класу є слухачами.

21. Схарактеризуйте складові процесу розвязання завдань з логічним навантаженням.

Важливим засобом інтелектуального розвитку школярів є використання на уроках математики завдань з логічним навантаженням. До таких завдань відносяться ті завдання, у яких зв’язки між даними і шуканими висловлено нечітко. Тому в процесі роботи необхідно розкрити і встановити існуючі зв’язки. Успішне розв’язання зазначених завдань залежить від уміння учня логічно і творчо мислити, бути кмітливим, здатності вести цілеспрямований пошук плану, будувати складні судження – міркування зі сполучниками: і, чи, якщо…, то. Зміст кожного завдання з логічним навантаженням дає змогу учням включати в пошук розв’язання дотепні міркування і певне розмірковування, цілісно і синтетично уявити і, завдяки цьому, глибоко вникнути в ситуацію, спланувати свої дії на три-чотири кроки вперед, передбачити результат (навіть негативний) і на основі цих міркувань вибрати ланцюжок дій, який найбільш швидко та економно приведе до очікуваного результату.

Процес розв’язування завдань з логічним навантаженням має такі етапи:

- Підготовчий – уміння аналізувати структуру завдання, зіставляти дане завдання з відомими.

- Визрівання нової ідеї, формулювання гіпотези (передбачення) – уміння знаходити приховані зв’язки між даними і невідомими елементами.

- Перевірка гіпотези – уміння аналізувати гіпотезу щодо можливого розв’язання завдання.

• Розвиток ідеї – уміння логічно опрацьовувати знайдене розв’язання завдання.

Провідною метою використання завдань з логічним навантаженням на уроках математики є інтелектуальний розвиток кожного учня, який включає:

1. Оволодіння загальними розумовими діями і прийомами розумової діяльності: аналізом, порівнянням, узагальненням, аналогією.

2. Розвиток пізнавальних інтересів: пам’яті, уваги, уяви й, особливо, діалектичного мислення, що досягається поступово шляхом підведення учнів до більш складних узагальнень.

3. Мовний розвиток учнів, який здійснюється у процесі проблемно-пошукового діалогу між учителем та учнями через пояснення власної точки зору, зіставлення різних поглядів, висування припущень, їх аргументація, висловлення оцінних суджень.

22. Методика роботи над задачами, які розв’язуються методом припущення У змісті задач, які розв’язуються методом припущення подаються тільки твердження. Підготовчим етапом до розв’язування даного виду задач є набуття учнями вміння перетворювати істинне судження (твердження) на хибне і навпаки. Розглянемо два блоки таких задач: задачі, у змісті яких є твердження, які складаються з однієї частини; задачі, у змісті яких є твердження, що складаються з двох частин, з’єднаних безсполучниковим зв’язком. Методику роботи над кожним блоком задач розглянемо на прикладі розв’язування задачі.  Методику роботи над першим блоком задач, які розв’язуються методом припущення розглянемо на прикладі задачі № 2 (с.60 посібника «Логіка. 2 клас») Завдання. Три однокласники – Олексій, Василь та Сергій займаються у різних шкільних гуртках: хореографічному, математичному та баскетбольному. На запитання, хто який гурток відвідує, вони відповіли:  Олексій: «Я відвідую хореографічний». Василь: «Я – не хореографічний». Сергій: «Я – не математичний». Який гурток відвідує кожний із хлопчиків, якщо відомо, що тільки один із них сказав правду? Робимо припущення. Припускаємо поступово істинність одного з тверджень і хибність інших двох (відповідно умови задачі). Після кожного з припущень визначаємо, який гурток відвідує кожний з хлопчиків. Розв’язком задачі буде той варіант, який не суперечить умові/ Треба розглянути всі варіанти припущень (навіть, якщо дитина вибрала зразу той варіант припущення, який приводить до правильного розв’язку). Це і буде розв’язанням задачі на припущення. В зошиті учня має бути таке оформлення розв’язання цієї задачі. Ол ексій: «Я — хореограф.» х. не х. не х. Василь: «Я — не хореограф.» х. не х. х. Сергій: «Я — не матем.» м. м. не м.  Відповідь: Василь відвідує хореографічний гурток, Сергій — баскетбольний, Олексій — математичний. Перший і другий варіанти припущення вступають у суперечність з умовою задачі (в першому варіанті — двоє дітей відвідують хореографічний гурток; у другому варіанті — ніхто не відвідує хореографічний гурток). Підходить третій варіант, бо за цим варіантом припущення всі хлопці відвідують різні гуртки.  Відповідь записана в тому порядку, в якому розгортається пошук: спочатку визначаємо, який гурток відвідує Василь (шляхом перетворення хибного твердження на правильне: вилучаємо слово «не»); потім — переходимо на Сергія: він не відвідує математичний гурток і не відвідує хореографічний, значить, відвідує баскетбольний, залишається, що Олексій відвідує математичний. Методику роботи над другим блоком задач, які розв’язуються методом припущення розглянемо на прикладі такої задачі: Учителька повідомила другокласникам, що сьогодні буде незвичайний урок. Він поєднає кілька предметів. Який саме урок має бути у другокласників, якщо в кожному із наведених тверджень одна частина істинна, а друга — хибна. Урок української мови з елементами логіки. Урок математики з елементами природознавства. Урок не української мови з елементами музики. Розв’язання цієї задачі діти починають з того, що переписують у зошит самі твердження, які подано в умові. Подаємо зразок оформлення розв’язання задачі в зошиті дитини пр. х. х. пр Урок української мови з елементами логіки.х. пр. пр. х. Урок математики з елементами природознавства х. пр. х. х. Урок не української мови з елементами музики. Відповідь: Урок математики з елементами логіки. Потім учні припускають: «Нехай у першому твердженні перша частина буде істинною, а друга – хибною». Одночасно діти роблять відповідні написи над частинами першого твердження. Виходячи з цього припущення, в другому твердженні перша частина може бути тільки хибною, а друга (за умовою) повинна бути істинною. Робимо відповідні написи над частинами другого твердження. У третьому твердженні, виходячи з попередніх міркувань, дві частини – хибні. А це протирічить умові задачі (в кожному твердженні одна частина правильна і одна хибна). Отже, наше припущення було хибним. (Учні закреслюють простим олівцем в зошиті результати попереднього припущення).  Припускаємо по-іншому: «Нехай у першому твердженні перша частина буде хибною, а друга – істинною». Тоді в другому твердженні перша частина може бути істинною, а друга – тільки хибною. В третьому твердженні перша частина тільки істинна, а друга – хибна. Протиріччя з умовою задачі немає. Треба звернути увагу дітей, що задача має дві відповіді: «Урок математики з елементами логіки» та «Урок не української мови з елементами логіки». Але точніша відповідь: «Урок математики з елементами логіки», бо в ній є назва уроку.  Розглянемо ще декілька задач другого блоку. Наприклад, задача № 2 на с. 64 посібника «Логіка. 2 клас». Завдання. Один із трьох братів забруднив скатертину Хто забруднив скатертину? – запитала бабуся. Василько не ставив пляму, - сказав Лесик, - це зробив Петрик. Це Василько заплямував скатертину, а не Лесик, - сказав Петрик Не гнівайся, бабуню. Я знаю, що Петрик не міг цього зробити, це я забруднив скатертину, заперечив Василько. З’ясувалося, що двоє хлопчиків двічі сказали правду, а один двічі збрехав. Хто поставив пляму? Робота над задачею розпочинається із запису учнями у зошити тверджень. Твердження бажано записати коротко. Цей запис може бути таким: Василько — ні, Петрик — так. Василько — так, Лесик — ні. Петрик — ні, Василько — так. Розв’язання Діти встановлюють, що в одному твердженні дві частини є хибними, а в інших двох твердженнях — істинними (за умовою задачі). Припущення робимо тільки у першому твердженні! Нехай у першому твердженні дві частини є істинними. Тоді, Петрик забруднив скатертину. У другому твердженні виходить, що перша частина є хибною, а друга - істинною. Це вступає у протиріччя з умовою задачі: в двох твердженнях мають бути дві частини або істинними, або хибними. Отже, цей варіант припущення неправильний. Припускаємо по-іншому.  Нехай у першому твердженні дві частини є хибними. Тоді, Василько забруднив скатертину. В двох наступних твердженнях виходить, що дві частини є істинними. Це не суперечить умові. Значить, наше припущення виявилося правильним. Отже, Василько забруднив скатертину. Опишемо розв’язання задачі № 3 на с. 70 посібника «Логіка. 2 клас». Завдання. Четверо друзів-шахістів перед початком шахового турніру обговорювали свої можливості щодо виграшу призових місць. Хлопці були впевнені, що вони займуть чотири перших місця, але не знали, в якому порядку. Ось як вони міркували: Олег: «Якщо я не займу першого місця, то Леонід займе четверте». Леонід: «Якщо Сергій не виборе перше місце, то Олег вийде на третє». Сергій: «У Олега становище в турнірній таблиці буде кращим, ніж у Павла». Павло: «Можу тільки сказати, що всі ми займемо різні місця». Припущення друзів були цілком виправдані. Хто яке місце зайняв у шаховому турнірі? Умову дітям можна не записувати. Розв’язання За умовою всі твердження істинні. Але для кожного можливі два варіанти місць. Тому припускаємо. Нехай Олег не буде на першому місці, тоді Леонід опиниться на четвертому. Нехай Сергій не займе перше місце, тоді Олег займе третє. Виходячи зі змісту твердження Сергія (у Олега становище в турнірній таблиці є кращим, ніж у Павла), у Павла — четверте місце. Виходить, що у Леоніда і Павла — четверте місце. Це протирічить змісту твердження Павла. Отже, припущення неправильне. Припускаємо по-іншому. Нехай Олег зайняв перше місце, тоді Леонід — не на четвертому. Сергій вже не може зайняти перше місце, значить у Олега — третє. Виходячи з даного припущення, Олег зайняв і перше, і третє місце. Це не відповідає дійсності. Отже, припущення наше неправильне. Припускаємо по-іншому, Нехай Олег не буде на першому місці, тоді Леонід опиниться на четвертому. Нехай Сергій займе перше місце, а Олег не опиниться на третьому. Виходячи зі змісту третього твердження, залишається, що Олег на другому місці, а Павло на третьому. Це не протирічить умові. Значить, наше припущення виявилося правильним. Опишемо розв’язання задачі № 4 на с. 75 посібника «Логіка. 2 клас». Завдання. Одинадцятикласники Микола, Василь та Сергій – призери міської математичної олімпіади, керували математичним гуртком другокласників. На одному із занять вони запропонували дітям логічну задачу, яку склав один із них. Другокласникам задача сподобалася, і вони запитали, хто склав задачу. Хлопці відповіли так: ергій: «Я задачу не складав. Василь теж не складав». Василь: «Сергій задачу не складав. Задачу складав Микола». Микола: «Я задачу не складав. Задачу склав Сергій». Ще й додали, що один із двічі сказав правду, другий – двічі неправду, а третій – сказав правду тільки наполовину. Вони запропонували малюкам самостійно визначити, хто з них склав задачу. Визнач це і ти. Умову бажано записати так: Сергій — ні, Василь — ні. Сергій — ні, Микола — так. Мкола — ні, Сергій — так. Розв’язання Виходячи з умови, треба звернути увагу дітей на те, що Сергій не може двічі сказати неправду, бо тоді задачу склали і Сергій, і Василь, що вступає у протиріччя з умовою. Нехай Сергій двічі сказав правду. Тоді, задачу склав Микола. Виходячи з даного припущення, у другому твердженні (слова Василя) теж дві частини є істинними. А це вступає у протиріччя з умовою. Значить дане припущення неправильне.  Припускаємо по-іншому. Нехай у першому твердженні (слова Сергія) перша частина є істинною, а друга — хибною. Тоді, задачу склав Василь. Виходячи з даного припущення, у другому твердженні (слова Василя) теж одва частина є істинною, а друга — хибною.. А це вступає у протиріччя з умовою. Значить і дане припущення неправильне.  Припускаємо по-іншому. Нехай у першому твердженні (слова Сергія) перша частина є хибною, а друга — істинною. Тоді, задачу склав Сергій. Тоді у другому твердженні (слова Василя) — дві частини є хибними. У третьому твердженні (слова Миколи) — дві частини є істинними. Дане припущення не вступає у протиріччя з умовою задачі. Отже, задачу склав Сергій. Робота над задачами у змісті яких, тільки істинні складні твердження зі сполучниками „і”, „або”, „якщо..., то” пропонується у четвертому класі (третій рік навчання). Розглянемо задачу № 4 на с. 19 посібника „Логіка. 4 клас”.  Завдання. П’ятеро четвертокласників Ольга, Богдан, Павло, Надія та Володимир збирали у парку листя дуба, тополі, берези, клена та каштана для гербарію. Про те, хто яке листя збирав, маємо такі істинні твердження: Якщо Павло не збирав листя клена, то Богдан збирав листя каштана. Богдан чи Володимир збирали листя дуба Якщо Володимир не збирав листя тополі, то Ольга збирала листя уба.

адія збирала листя клена, чи Ольга збирала листя каштана. Визнач, яке саме листя збирав кожен четвертокласник. Спочатку діти переписують з умови задачі твердження. Потім роблять припущення, що Павло не збирав листя клена, тоді Богдан збирав листя каштана. Із змісту другого твердження робимо висновок, що Володимир збирав листя дуба (друге твердження – це складне твердження, в якому частини з’єднані сполучником „чи”. Воно залишається істинним: перша частина є хибною, а друга – істинною. Виходячи з третього твердження, Ольга теж збирала листя дуба. Ця інформація вступає у протиріччя з умовою задачі: не повинно бути дітей, які збирали однакове листя. Отже, припущення було хибним. Припустимо по-іншому. Нехай, Павло збирав листя клена, тоді Богдан не збирав листя каштана. Виходячи з попереднього припущення, Володимир не може збирати листя дуба. Значить, листя дуба збирав Богдан (друге твердження). Тоді, з третього твердження: Володимир збирав листя тополі, а Ольга не збирала листя дуба. У четвертому твердженні перша частина є хибною, бо Павло збирав листя клена. Значить, друга частина має бути тільки істинною (тільки у такому випадку складне твердження зі сполучником чи буде істинним). Отже, Павло збирав листя клена, Богдан – листя дуба, Володимир – листя тополі, Ольга – каштана, Надія – берези. У зошиті розв’язання учні оформлюють так: Павло не збирав листя клена, то Богдан збирав листя каштана. Богдан чи Володимир збирали листя дуба. Якщо Володимир не збирав листя тополі, а Ольга збирала листя дуба.- протиріччя з умовою задачі Надія збирала листя клена, чи Ольга збирала листя каштана. Відповідь: Павло збирав листя клена, Богдан – листя дуба, Володимир – листя тополі, Ольга – каштана, Надія – берези. Після ознайомлення дітей із задачами, які розв’язуються методом припущення, діти знайомляться із задачами, які розв’язуються методом вилучення. Врешті-решт, завершуючи вивчення розділу «Судження» (перший і другий рік навчання), можна два-три уроки присвятити розв’язуванню логічних задач методом припущення і методом вилучення. На таких уроках бажано, щоб дитина спочатку самостійно визначила метод розв’язання задачі, а потім приступала до розв’язання. Опишемо методику роботи над задачами, які розв’язуються методом вилучення.

23. Методика роботи над задачами, які розв’язуються методом вилучення Всі задачі, які розв’язуються методом вилучення, можна розподілити на три рівня складності (від простого до складного). ^ Перший рівень складності: задачі, в яких вилучення можна зробити з кожного окремо взятого речення (твердження) і результати внести у таблицю. Цього буде достатньо, щоб розв’язати задачу. Для того щоб розв’язати задачу першого рівня складності, дитині достатньо виконати тільки один крок. ^ Другий рівень складності: задачі, для розв’язання яких, окрім вилучень з окремо взятих речень, треба зробити ще й вилучення, порівнюючи інформацію, подану в двох (трьох) реченнях. Для того щоб розв’язати задачу другого рівня складності, дитині треба виконати два кроки. ^ Третій рівень складності: задачі, для розв’язання яких, окрім зазначених вилучень в задачах першого і другого рівня складності, треба виконати ще й вилучення, підставляючи знайдену інформацію в умову задачі. Для того щоб розв’язати задачу третього рівня складності, дитині треба виконати три кроки. Опишемо розв’язання задачі №1 на с. 98 посібника «Логіка. 2 клас». Це задача першого рівня складності. Завдання. Вороненко, Петренко, Любаренко та Соменко – талановиті юнаки. Один із них – танцюрист, другий – художник, третій – співак, четвертий – письменник. Ось що про них відомо. Вороненко та художник були в театрі саме тоді, коли співак виступав там із концертом. Петренко і письменник учора відвідали художника. Письменник написав біографічну повість про свого друга Соменгка і збирався написати про Вороненка. Назви прізвища танцюриста, художника, співака та письменника. Читання умови. За змістом умови між вчителем та учнями може відбутися такий проблемно-пошуковий діалог. — Діти, яким методом ви скористуєтеся для розв’язання цієї задачі? (методом вилучення) — Як ми будемо оформлювати розв’язання цієї задачі? ( у таблиці) Складання таблиці. — Скільки було юнаків? (4). — Які їхні прізвища? (Вороненко, Петренко, Соменко, Любаренко). — Якими професіями володіють? (танцюрист, художник, письменник, співак). Креслення таблиці. Повторне читання умови, в процесі якого учні роблять певні вилучення з кожного твердження. ^ Вилучення перше. Якщо Вороненко та художник були в театрі, коли виступав співак, то Вороненко не може бути ні художником, ні співаком. У відповідному місці таблиці діти ставлять прочерк. ^ Вилучення друге. Письменник і Петренко відвідали художника. Отже, Петренко ні художник, ні письменник. У відповідному місці таблиці діти ставлять прочерк. ^ Вилучення третє. Письменник написав біографічну повість про свого друга Соменка чи Вороненка. Отже, письменник не Вороненко і не Соменко. У відповідному місці таблиці діти ставлять прочерк. Отже, Вороненко — танцюрист, Петренко — співак, Соменко — художник, Любаренко — письменник. Таблиця має такий вигляд: Розглянемо задачу другого рівня складності, для розв’язання якої учневі треба виконати два кроки. Задача № 5 на с. 81 посібника «Логіка. 2 клас». Завдання. В одному дворі живуть четверо юнаків. Відомо, що Вадим і шофер старші від Сергія; Микола і слюсар захоплюються плаванням; бібліотекар наймолодший серед юнаків. Вечорами Антон і перукар грають у доміно проти Сергія та бібліотекаря. Визнач професію кожного з цих юнаків Після складання таблиці за текстом умови задачі діти виконують перший крок у розв’язанні: роблять вилучення з кожного окремо взятого речення (твердження) і заносять результати у таблицю. а) з першого твердження: шофер — не Вадим і не Сергій; б) з другого твердження: слюсар — не Микола; в) з четвертого твердження: перукар — не Антон і не Сергій; бібліотекар — не Сергій і не Антон. Таблиця матиме такий вигляд: ^ Другий крок. Порівнюємо зміст першого і третього твердження і робимо висновок: Вадим не може бути бібліотекарем Тепер ми можемо сказати, що Сергій — слюсар. Відповідно, ні Вадим і ні Антон не можуть бути слюсарем. Отже, Вадим — перукар, Антон — шофер. Значить, Микола — бібліотекар. Задача розв’язана.  Розглянемо задачу третього рівня складності, для розв’язання якої учневі треба виконати три кроки. Задача № 4 на с. 80 посібника «Логіка. 2 клас» Завдання. Петро, Геннадій, Дмитро та Володимир займаються у дитячій спортивній школі у різних секціях: гімнастичній, баскетбольній, волейбольній і легкої атлетики. Петро, Дмитро та волейболіст – однокласники. Петро та Геннадій ходять на тренування пішки, а гімнаст їде автобусом. Легкоатлет не знайомий ні з баскетболістом, ні з волейболістом. Хто в якій секції тренується? Після складання таблиці за текстом умови задачі діти виконують перший крок у розв’язанні: роблять вилучення з кожного окремо взятого речення (твердження) і заносять результати у таблицю. а) з першого твердження: волейболіст — не Петро і не Дмитро;

24. Методичні рекомендації щодо роботи над задачами на планування найгіршого варіанта (І тип). Ці задачі можна умовно розділити на два блоки. Перший блок: задачі про предмети, які не мають пари. Це можуть бути різнокольорові кульки, олівці, пиріжки з різною начинкою тощо. Розглянемо задачу. В шухляді лежать однакові за розміром кульки. Відрізняються вони одна від одної тільки кольором: 12 білих, 5 жовтих, 9 синіх, 7 червоних. Скільки кульок треба вийняти із шухляди не зазираючи в неї, щоб серед вийнятих кульок обов’язково були: а) 3 ині кульки? б) по 3 кульки кожного кольору в) 3 кульки одного якогось кольору? г) 8 кульок одного якогось кольору? Спланувати в даній ситуації свої дії з метою досягнення бажаного результату, не можливо. Наприклад, в завдання а) нам може пощастити зразу – дістанемо одну за одною 3 сині кульки. Але може бути так: дістали спочатку синю кульку, потім – жовту, а далі – одна за одною 2 сині кульки. І таких розв’язків може бути безліч. Ми ніколи не зможемо передбачити, скільки треба вийняти кульок, щоб отримати такий набір, в якому будуть обов’язково три сині. Єдиним способом розв’язання таких задач є планування найгіршого варіанту.  У авданні а) найгіршим варіантом буде така ситуація: дістаємо всі кульки окрім синіх, і, врешті-решт, коли в шухляді залишаться тільки сині, дістаємо 3 сині. Тому розв’язання буде таким: 12 + 5 + 7 + 3 = 27 (к.) Після розв’язання аналогічних завдань учні можуть зробити самостійно висновок, тобто сформулювати найгірший варіант для ситуацій, в яких треба вийняти певну кількість кульок (інших предметів) одного й того самого кольору навмання (не зазираючи в шухляду, в темній кімнаті тощо). Найгірший варіант для зазначених ситуацій такий: виймаємо всі кульки (інші предмети) окрім кульок (інших предметів) того кольору, який задано вийняти, і наприкінці, коли в шухляді (кімнаті тощо) залишаються тільки ті кульки (інші предмети), які задано вийняти, виймаємо, нарешті, їх потрібну кількість. завданні б) найгіршим варіантом буде така ситуація: дістаємо спочатку 12 білих кульок, бо їх найбільше, потім – 9 синіх кульок (саме вони в цьому наборі по кількості слідують після білих). Далі –7 червоних і, нарешті, – 3 жовті. Отже, розв’язання буде таким: 12 + 9 + 7 + 3 = 31 (к.) Після розв’язання аналогічних завдань учні можуть зробити самостійно висновок, тобто сформулювати найгірший варіант для ситуацій, в яких треба вийняти певну кількість кульок (інших предметів) кожного із запропонованих кольорів навмання (не зазираючи в шухляду, в темній кімнаті тощо). Найгірший варіант для зазначених ситуацій такий: виймаємо спочатку всі кульки (інші предмети) того кольору, яких найбільше, потім ті, яких трохи менше, далі ті, яких ще менше і наприкінці, серед тих кульок (інших предметів), яких найменше, виймаємо ту кількість, яку задано вийняти.  Найгірший варіант у завданні в) такий: нам попадаються кульки різних кольорів. Ми виймаємо по дві кульки кожного кольору, і тільки наступна кулька буде до якогось кольору третьою. Отже, треба вийняти 2 • 4 + 1 = 9 кульок. Тут треба вчителю звернути увагу учнів, що множимо саме два на чотири, а не навпаки, бо чотири кольори, тобто по два ми виймаємо чотири рази.  У завданні г) можна діяти по-різному. Тут ми не можемо, як в попередньому завданні, вийняти кожного кольору по 7 кульок, а потім дістати ще одну, бо не всі кольори в наборі мають таку кількість кульок. Тому можна вийняти кожного кольору по 5 кульок (це максимальна кількість кульок, яку можна вийняти кожного кольору), потім – по 2 кульки синіх, червоних і білих і, нарешті, ще одну, яка буде восьмою: або синьою, або білою. Отже, треба вийняти 5 • 4 + 2 • 3 + 1 = 27 кульок. Але можна здійснити обчислення більш раціонально: вийняти по 7 кульок тих кольорів, яких можливо, а це червоні, сині і білі, потім кульки інших кольорів, яких менше, ніж 7, вийняти повністю і, нарешті, ще одну. Отже, підрахунок буде мати такий вигляд: 7 •3 + 5 + 1 = 27 кульок.

25. Методичні рекомендації щодо роботи над задачами на планування найгіршого варіанта

Другий блок складають задачі про предмети, які мають пару, – рукавички, чоботи, панчохи, шкарпетки тощо. Наприклад, детально розбираємо з учнями таку задачу: «В темній кімнаті, у шафі лежать поштучно 8 пар чорних, 10 пар зелених та 5 пар коричневих рукавичок одного розміру. Скільки рукавичок треба вибрати із шафи навмання, щоб серед вийнятих обов’язково була: а) пара рукавичок одного (будь-якого) кольору; б) по одній парі рукавичок кожного кольору. Спочатку вчитель пропонує учням визначити, якого виду ця задача (на планування найгіршого варіанту, бо розв’язків може бути безліч). Це і буде підготовчим етапом роботи над завданням. Потім – розв’язуємо завдання а. Вчитель дає можливість учням самостійно знайти найгірший варіант. Як правило, учні формулюють такий: вибираємо спочатку одну чорну, потім – одну зелену, а потім – коричневу, а наступна – буде до пари рукавичок– чи чорна, чи зелена, чи коричнева. Отже, необхідно всього вийняти чотири рукавички. Якщо ніхто з учнів не зможе спрогнозувати найгірший варіант, то бажано далі продовжити роботу так. Перш за все вчителю треба дати одному з учнів дві рукавички однакового кольору (наприклад, чорні) і запропонувати одягнути їх на руки. Дитина не може цього зробити, бо дві рукавички хоч і однакового кольору, але на одну й ту саму руку. Саме в цей момент у цієї дитини або в інших учнів може наступити осяяння – раптове виникнення ідеї: в парі повинні бути рукавички не тільки однакового кольору, а й на різні руки – праву і ліву. Така робота приведе учнів до знаходження найгіршого варіанту: треба вибрати всі рукавички одного кольору, наприклад, чорні, на одну руку, наприклад, на праву, потім всі рукавички іншого кольору, наприклад, коричневі, на іншу руку, наприклад, на ліву (чи на ту саму руку), далі – всі зелені теж на одну якусь руку, і, нарешті, наступна, вийнята нами рукавичка, буде до пари або чорних, або коричневих, або зелених. Отже, треба вийняти 8 + 5 + 10 + 1 = 24 рукавички. Виконуючи завдання б, учні можуть самостійно здогадатись, що треба спочатку вийняти всі, і на праву, і на ліву руку, зелені рукавички, бо їх найбільше, далі – всі чорні, бо їх трошки менше, а потім можуть зробити помилку, сказавши, що треба вийняти 2 коричневі. Тоді вчителю необхідно звернути увагу дітей на те, що 2 рукавички можуть бути на одну й ту саму руку і тоді пари не вийде. Таким чином, учні зможуть усвідомити помилку і самостійно виправити її: далі треба виймати всі коричневі рукавички на одну руку і, нарешті, наступна коричнева рукавичка вже буде до пари. Отже, треба вийняти 10 + 10 + 8 + 8 + 5 + 1 = 42 рукавички. Бажано звернути увагу дітей на те, що можна обчислити, використовуючи дію множення, бо є сума однакових доданків, тобто можна вирази 10 + 10 та 8 + 8 замінити на вирази 10 • 2 та 8 • 2, а потім скористатися властивістю множення суми на число, і тоді вираз матиме такий вигляд: (10 + 8) • 2 + 5 + 1 = 42 рукавички. Працюючи над завданням б, вчитель може запитати: Що зміниться, якщо буде завдання отримати по 2 пари кожного кольору? Учні мають самостійно дійти висновку, що зміни будуть в самому кінці, коли залишаться рукавички на одну руку того кольору, яких найменша кількість, тобто коричневі, їх треба вийняти не одну, а дві. В результаті необхідно вибрати 43 рукавички. Потім вчитель може запропонувати учням аналогічні задачі, розширивши набір кольорів. Після цього необхідно сформулювати найгірший варіант до ситуацій, які описані в завданні а та в завданні б. Отже, найгірший варіант для ситуації, яка описана в завданні а такий: спочатку виймаємо всі предмети (всіх запропонованих в умові кольорів) на одну якусь руку чи ногу (шкарпетки, чоботи тощо), потім з наступним, вибраним нами предметом, ми вже зможемо утворити пару предметів якогось кольору. Причому порядок, в якому ми будемо вибирати предмети певного кольору – довільний. Найгірший варіант для ситуації, яка описана в завданні б такий: ми спочатку виймаємо ті предмети, яких найбільша кількість, причому і на праву, і на ліву руку (ногу), потім ті, яких трохи менше, так само – і на праву, і на ліву руку (ногу) тощо, до тих пір, поки не залишаться пари предметів того кольору, яких найменша кількість. Тоді виймаємо предмети цього кольору на одну руку (ногу) і, нарешті, з наступним, вибраним нами предметом цього кольору, ми вже зможемо теж утворити пару. Причому порядок, в якому ми будемо вибирати предмети з метою появи по одній парі кожного кольору, строго визначений: від вибору предметів того кольору, яких найбільше, до вибору предметів того кольору, яких найменше. В цих завданнях не можна забувати, що предмети одного й того ж кольору на праву і на ліву руку (ногу) різняться між собою. Аналогічні задачі вчитель може скласти сам. Подаємо приклади таких задач із відповідями та розв’язанням до деяких з них. У шухляді лежать олівці: 9 червоних і 6 синіх. Навмання беруть олівці. Скільки треба вибрати олівців, щоб серед них обов’язково були 3 червоні та 4 сині? Розв’язання. Виймаємо всі червоні, бо їх найбільше, а потім — ще 4 сині олівці. Отже, 9 + 4 = 13 олівців

2. У коробці лежать 100 різнокольорових кульок: 30 синіх, 30 червоних, 30 зелених і 10 чорних. Скільки кульок треба вийняти із коробки, не зазираючи туди, щоб серед вийнятих обов’язково були 4 кульки одного якогось кольору?

Розв’язання. Виймаємо кожного кольору по 3 кульки, а потім — ще одну кульку, яка і буде четвертою до якогось кольору. Отже, 3 • 4 + 1 = 13 кульок. У коморі стоять 20 банок з варенням. У восьми банках полуничне варення, у семи – малинове, а у п’яти – аґрусове. Скільки банок у темряві треба винести з комори, щоб серед них обов’язково були: а) 5 банок малинового варення?; б) 3 банки одного якогось сорту?; в) по 2 банки кожного сорту? Розв’язання. а) Виймаємо всі банки з варенням, крім малинового, потім — ще 5 банок малинового варення. Отже, 8 + 5 + 5 = 18 банок. Рекомендуємо: запропонувати учням знайти значення виразу зручним способом: використовуємо сполучну властивість додавання: 8 + (5 + 5) = 8 +10= 18 (б.) б) 2 • 3 + 1 = 7 (б.).  в) Виймаємо всі банки з полуничним варенням, бо їх найбільше, потім — всі з малиновим, бо їх трохи менше, і, врешті-решт — 2 банки з аґрусовим. Отже, 8 + 7 + 2 = 17 банок. Рекомендуємо: запропонувати учням знайти значення виразу зручним способом: використовуємо переставну і сполучну властивість додавання:8 + 7 + 2 = (8 + 2 ) + 7 = 17 (б.) Є 5 валіз і 5 ключів від них. Але невідомо, який ключ від якої валізи. Скільки спроб треба зробити у найгіршому випадку, щоб підібрати до кожної валізи свій ключ? Розв’язання. У найгіршому варіанті перший ключ знаходить свою валізу за 4 спроби, другий — за 3, третій — за 2, четвертий — за 1, п’ятий підходить зразу до тої валізи, яка залишилася. Отже, 4 + 3 + 2 + 1 = 10 спроб.

На карточках написані двоцифрові числа. Скільки карток треба взяти, не дивлячись на них, щоб одно з чисел ділилося на 2? Розв’язання. У найгіршому варіанті, виймаючи навмання картки від 10 до 99, ми спочатку будемо мати тільки непарні числа — їх 45. Тому 46–е число обов’язково буде парним. Данилко і Дениско — брати–близнюки. Вони носять речі одного розміру. Якось взимку ввечері вони вирішили біля дому покататися на санчатах. Коли хлопчики збиралися вже виходити з квартири, раптово в будинку погасло світло. Діти не встигли одягнути тільки рукавички. Дениско пам’ятав, на якій полиці у шафі лежать їх рукавички. На полиці лежало поштучно 4 пари сірих і 7 пар чорних рукавичок. Скільки рукавичок хлопчик повинен дістати з шафи навмання, щоб серед них обов’язково була пара рукавичок одного якогось кольору? Розв’язання. 4 + 7 + 1 = 12 (р.) У пакеті лежали цукерки однакові за формою і розміром: 7 цукерок «Білочка», 4 цукерки «Червоний мак», 9 цукерок «Грильяж». Скільки цукерок навмання треба вибрати з пакету, щоб серед вийнятих обов’язково були: а) 2 цукерки «Червоний мак»?; б) 2 цукерки кожного виду?; в) 3 цукерки одного якогось виду? Розв’язання. а) 7 + 9 + 2 = 18 (ц.); б) 9 + 7 + 2 = 18 (ц.); в) 2 • 3 + 1 = 7(ц.) У шухляді письмового столу лежать 5 чорних, 12 зелених, 6 коричневих та 10 синіх олівців. Навмання беруть по одному олівцю. Скільки треба вибрати олівців із шухляди, щоб серед вийнятих обов’язково було 2 чорних, 4 коричневі та 5 зелених олівців? Розв’язання. Виймаємо спочатку всі зелені олівці, бо їх найбільше, потім — всі сині, за ними — всі коричневі і, нарешті, — 2 чорних. Отже, 12 + 10 + 6 + 2 = 30 (ол.) Мама напекла пиріжків: 9 — із сиром; 12 — із рисом; 14 — із м’ясом; 10 — із яблуками. Всі вони були однакові за формою і розміром. Скільки пиріжків тобі треба взяти, не розламуючи їх, щоб серед них обов’язково були: а) два пиріжки з м’ясом?; б) по два пиріжки з кожною начинкою?; в) чотири пиріжки з одною будь-якою начинкою? Відповідь: а) 33 пиріжки; б) 38 пиріжків; в) 13 пиріжків