Фазовый портрет системы «хищник – жертва».
4.2.2. Гармонический анализ процессов
При исследовании колебательных процессов часто применяются их энергетические характеристики, в первую очередь – мощность и энергия.
Мгновенная мощность
сигнала
определяется как квадрат его мгновенного
значения:
Энергия Р
сигнала на интервале
находится как интеграл от мгновенной
мощности
.
Отношение
выражает среднюю (на интервале
)
мощность сигнала. Обозначим ее через
.
Получить представление о6 этих
характеристиках процесса можно на
основе преобразования Фурье. Рассмотрим
этот метод более подробно.
Для периодических процессов с периодом T можно записать ряд Фурье в виде
, (4.8)
где коэффициенты разложения находятся из формул
,
,
,
Совокупность
величин
называется амплитудным частотным
спектром периодической функции
.
Значения
представляют собой амплитуды гармоник
с частотой
в разложении процесса в ряд (4.8). Они
зависят от номера гармоники k
и обычно
графически представляются в виде
отрезков высотой
,
проведенных в точках
оси частот (поэтому спектр периодической
функции называют линейчатым, или
дискретным). Он несет в себе информацию
о частотных свойствах сигнала: если
сигнал имеет выраженные колебания на
некоторых частотах, то его спектр на
этих частотах содержит пики.
Обобщением ряда Фурье на непериодические процессы является интеграл Фурье, при котором используется представление
(4.9)
где
,
.
Аналогично вводится
частотный спектр процесса
как
.
Это функция от непрерывного аргумента
ω.
Поскольку при
цифровом моделировании исходной является
дискретная реализация процесса и
нахождение интеграла выполняется
конечным суммированием, то при числовом
гармоническом анализе вместо непрерывного
преобразования (4.9) выполняется дискретное
преобразование Фурье (ДПФ). Для этого
исследуемый процесс
(длительностью T)
заменяется выборочной дискретной
функцией (т.е. последовательностью)
,
где
(
),
N
– заданное число точек,
– шаг дискретности (квантования). Далее
вычисляется функция
,
(4.10)
(«изображение по
Фурье»), имеющая комплексные значения.
В пакете MATLAB
дискретное преобразование Фурье
выполняется процедурой fft.
Для ускорения вычислений рекомендуется
брать число точек
,
где
– некоторое натуральное число. В этом
случае программой реализуется так
называемое «быстрое преобразование
Фурье» (БПФ). Обратный переход от
изображения к исходной функции выполняется
по формуле
.
(4.11)
Для вычисления
спектральной плотности с помощью
процедуры fft
исходная реализация процесса разбивается
на N
точек, соответствующих равноотстоящим
моментам времени с интервалом
.
При выборе параметров
вычисления спектра (длина реализации
T,
число точек N
и связанный с ними интервал квантования
)
следует учитывать, что диапазон
существенных частот исследуемого
процесса не должен выходить за частоту
Найквиста
.
Несоблюдение этого условия может
привести к значительным ошибкам при
определении характеристик процесса.
Данное требование вытекает из известной
теоремы отсчетов Котельникова-Шеннона.
Поскольку
рассматриваемый процесс
в общем случае не является периодическим
с частотой
‚
вычисление его спектра с помощью
рассматриваемой процедуры является
приближенным. Как видно из формулы
(4.10), соседние точки по частоте отстоят
на величину
.
Учитывая, что
,
получим
.
Таким образом, длительность исследуемой
реализации должна быть достаточно
большой для получения спектра с заданным
шагом дискретности по частоте (
).
4.3. Модели состояния динамических систем
4.3.1 Модели общего вида
Важнейшую роль
при описании динамических систем играет
понятие состояния. Состояние – это
совокупность величин (вектор)
‚
которые вместе с входным воздействием
однозначно определяют будущее поведение
системы. Например, для RC-цепочки
переменная состояния есть
,
поскольку значения
и входного воздействия
при
однозначно определяют (в силу (4.5))
значение
при
.
Для модели динамики популяций (4.7)
состоянием является вектор
.
В общем случае уравнения состояний – это системы дифференциальных или разностных уравнений первого порядка вместе с уравнениями для выходных величин. Начальное состояние представляет «память» системы о прошлом. Модель состояния непрерывной динамической системы записывается в виде.
(4.12)
где
– входные переменные,
– выходные
переменные,
– переменные
состояния. Вводя векторные обозначения‚можно
записать (4.12) в более компактном виде:
(4.13)
где
,
,
.
Для моделей состояния справедлив
следующий факт: любая нелинейная
динамическая система. может быть
представлена как соединение линейных
динамических и нелинейных статических
звеньев. Доказательство очевидно из
рис 4.2, где в качестве линейного звена
взят интегратор.
Рисунок 4.2 – Схема интегрирования нелинейных систем
Еще более общей формой описания динамических систем являются сингулярные дифференциальные (алгебро-дифференциальные) системы
,
(4.14)
частным случаем которых являются неявные системы
.
(4.15)