2.2.3. Метод Ньютона – метод касательных

Пусть - корень уравнения отделен на отрезке , причем и непрерывны и сохраняют определенные знаки на этом же отрезке . Найдя какое-нибудь n-е значение корня ( ), уточним его по методу Ньютона. Для этого положим , где - считаем малой величиной. Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x _n по степеням h _n . Тогда можно записать:

Ограничимся двумя членами ряда и так как , то:

.

Учитывая найденную поправку h_n:,получим (n=0,1,2,…).

Рис.2.7 Метод касательных. Начальное приближение x₀=b

По-другому этот метод называется методом касательных. Если в точке провести касательную к функции f(x) , то ее пересечение с осью ОХ и будет новым приближением x₁ корня уравнения

Хорошим начальным приближением является то значение, для которого выполнено неравенство . Погрешность вычислений Счет можно прекратить, когда

Теорема 2.2: Если , причем и отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при , то, исходя из начального приближения , удовлетворяющего условию , можно вычислить методом Ньютона единственный корень уравнения с любой степенью точности.