Введение

Mathcad — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.

Mathcad был задуман и первоначально написан Алленом Раздовом[3] из Массачусетского технологического института(MIT), соучредителем компании Mathsoft, которая с 2006 годаявляется частью корпорации PTC (Parametric Technology Corporation).

Mathcad имеет интуитивный и простой для использования интерфейс пользователя. Для ввода формул и данных можно использовать как клавиатуру, так и специальные панели инструментов.

Работа осуществляется в пределах рабочего листа, на котором уравнения и выражения отображаются графически, в противовес текстовой записи в языках программирования. При создании документов-приложений используется принципWYSIWYG (What You See Is What You Get — «что видишь, то и получаешь»).

Несмотря на то, что эта программа в основном ориентирована на пользователей-непрограммистов, Mathcad также используется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования, путем использования распределённых вычислений и традиционных языков программирования. Также Mathcad часто используется в крупных инженерных проектах, где большое значение имеет трассируемость и соответствие стандартам.

Mathcad достаточно удобно использовать для обучения, вычислений и инженерных расчетов[4]. Открытая архитектура приложения в сочетании с поддержкой технологий .NET и XML позволяют легко интегрировать Mathcad практически в любые ИТ-структуры и инженерные приложения. Есть возможность создания электронных книг (e-Book).

Количество пользователей в мире — около 1.8 млн.

В последние годы появился целый ряд различных математических пакетов, реализующих разнообразные численные методы.

Пакет Mathсad более популярен в инженерной, чем в научной среде. Характерной особенностью пакета является использование привычных стандартов математических обозначений, а, значит, вид документа на экране максимально приближен к общепринятой математической нотации. Mathсad является средой визуального программирования, поэтому не требует знания специфического набора команд.

Простота освоения пакета, дружественный интерфейс, относительная непритязательность к возможностям компьютера явились главными причинами того, что именно этот пакет был выбран для обучения студентов численным метода

1.1. Источники и классификация погрешностей

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:

1. математическое описание задачи является неточным, в частности неточно заданы исходные данные описания;

2. применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций; поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;

3. при вводе данных в машину, при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления.

Погрешности, соответствующие этим причинам, называют:

1. неустранимой погрешностью,

2. погрешностью метода,

3. вычислительной погрешностью.

Часто неустранимую погрешность подразделяют на две части:

а) неустранимой погрешностью называют лишь погрешность, являющуюся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;

б) погрешность, являющуюся следствием несоответствия математического описания задачи реальности, называют, соответственно, погрешностью математической модели

Дадим иллюстрацию этих определений. Пусть у нас имеется маятник (рис. 1.1.), начинающий движение в момент t = t₀ . Требуется предсказать угол отклонения φ от вертикали в момент t₁.

Рис. 1.1. - Маятник

Дифференциальное уравнение, описывающее колебание этого маятника, берется в виде:

, (1.1)

где l — длина маятника, g — ускорение силы тяжести, φ — коэффициент трения.

Как только принимается такое описание задачи, решение уже приобретает неустранимую погрешность, в частности, потому, что реальное трение зависит от скорости не совсем линейно; другой источник неустранимой погрешности состоит в погрешностях определения l, g, µ, t₀, φ(t₀), φ΄(t₀). Название этой погрешности — «неустранимая» — соответствует ее существу, она неконтролируема в процессе численного решения задачи и может уменьшиться только за счет более точного описания физической задачи и более точного определения параметров. Дифференциальное уравнение (1.1) не решается в явном виде; для его решения требуется применить какой-либо численный метод. Вследствие этой причины и возникает погрешность метода.

Вычислительная погрешность может возникнуть, например, из-за конечности количества разрядов чисел, участвующих в вычислениях. Введем формальные определения.

Пусть I — точное значение отыскиваемого параметра (в данном случае — реальный угол отклонения маятника φ в момент времени t₁), II — значение этого параметра, соответствующее принятому математическому описанию (в данном случае — значение φ(t₁) решения уравнения (1.1)),

II_h-— решение задачи, получаемое при реализации численного метода в предположении отсутствия округлений, II_h^*—приближение к решению задачи, получаемое при реальных вычислениях. Тогда

Ρ₁ = II—I — неустранимая погрешность,

Ρ₂ = II_h —I — погрешность метода,

Ρ₃ = II_h^*—II_h — вычислительная погрешность.

Полная погрешность Ρ₀ получается по формуле

Ρ₀= Ρ₁+ Ρ₂+ Ρ₃