1.8.3. Среднеквадратичная ошибка аппроксимации полиномами Лежандра.

Пусть – система ортогональных многочленов на с весом – заданная функция.

Представим функцию в виде

где –ошибка аппроксимации в точке ,

– отрезок ряда Фурье по системе ,

Согласно постановке задачи среднеквадратичного приближения необходимо найти коэффициенты , минимизирующие среднеквадратичную ошибку, т.е.

В силу ортогональности полиномов Лежандра, решение системы (30) дается формулой (33).

.

При этих значениях коэффициентов многочлен

–

– наилучший в среднеквадратичном многочлен -го порядка, т.е.

=

Вычислим квадрат нормы среднеквадратичной ошибки:

.

(11) (38)

Распишем скалярное произведение в (38):

.

(12) (39)

Распишем последнее слагаемое в (38):

.

(13) (40)

Подставляя (39) и (40) в формулу (38) для ошибки, получим:

(14) (41)

Из неравенства (41) следует так называемое неравенство Бесселя для среднеквадратичного приближения:

.

Т.к. система многочленов полна, то в пределе получаем

,

причем стремление к нулю монотонное: .

Пример 17. Пусть , найти наилучший в среднеквадратичном многочлен 2-ой степени, приближающий на отрезке . Вычислить среднеквадратичную ошибку аппроксимации.

В данном случае весовая функция , поэтому используем ортогональную систему полиномов Лежандра. Для три первых полинома найдены в примере 1:

По формуле (33), учитывая, что

В результате получаем: , и среднеквадратичная погрешность данного приближения

Глава 2. Численное интегрирование.

2.1. Использование функциональных рядов.

Пусть . Тогда существует определенный интеграл

,

согласно формуле Лейбница.

Однако, во многих случаях первообразная не выражается в аналитическом виде, поэтому приходится применять те или иные численные методы.

Примеры «неберущихся» интегралов:

– интегральный синус;

– интеграл вероятности;

- интеграл Френеля, и другие.

Одним из способов численного интегрирования является разложение подынтегральной функции в те или иные ряды (например, в ряд Тейлора) и почленное интегрирование полученного ряда. Например, для «интегрального синуса» получаем с помощью тейлоровского разложения:

.

Взяв конечное число членов разложения, получим приближенное значение интегрального синуса . При этом абсолютная ошибка приближения оценивается по остаточному члену тейлоровского разложения.

Подобные примеры рассматриваются на семинарском занятии.

Другой подход основан на интерполяции подынтегральной функции по Лагранжу или Ньютону. В результате получаются так называемые квадратурные формулы. В следующем параграфе этот подход рассматривается более подробно.

2.2. Квадратурные формулы на основе интерполяции.

Пусть задана сетка узлов , не обязательно равномерная. Требуется приближенно вычислить интеграл . Представим подынтегральную функцию интерполяционным полиномом Лагранжа по данной системе узлов: , тогда

,

где

- приближенное значение интеграла,

- ошибка приближения.

Используя представление полинома Лагранжа через фундаментальные полиномы

,

получим:

,

(1)

где

.

Формула (1) называется квадратурной формулой n-го порядка. Если , то используя формулу погрешности интерполяции в точке, получим следующее выражение для погрешности квадратурной формулы:

(2)

Оценивая обе части (2) по модулю, получим оценку абсолютной погрешности

,

(3)

где

,

Стандартные квадратурные формулы получаются для равномерной сетки .

Воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона:

,

(4)

где

.

В этом случае квадратурная формула n-го порядка получается при подстановке представления (4) в интеграл

и представления конечных разностей в виде линейной комбинации узловых значений функции (согласно свойству конечных разностей).

Для ошибки квадратурной формулы n-го порядка соответственно получаем выражение:

.

(5)

После замены переменной , окончательно получаем:

.

(5)

Условие связано с тем, что при понятие «шага» сетки не определено.

Перейдем к непосредственному выводу квадратурных формул для порядков .

. Пусть .

Как говорилось выше, шаг h в этом случае не определен, т.к. имеется всего один узел . Этот узел может быть выбран многими способами.

Положим, например,

(тем самым оптимизируется погрешность «в среднем» для большого семейства функций). Учитывая, что полином Ньютона нулевого порядка имеет вид

,

Получаем квадратурную формулу «нулевого порядка»

.

(6)

Формула (6) имеет простой геометрический смысл и называется «формулой прямоугольника».

Для оценки погрешности данной квадратурной формулы (как говорилось выше, при формула (6) не применима) введем «псевдошаг», положив

, и рассмотрим интеграл

. (7)

После замены переменных получим:

. (8)

Пусть . Разложим подинтегральную функцию в (8) в ряд Тэйлора до членов второго порядка: , где , и подставим в (8):

= .

Из последней формулы усматриваем, что

- приближенное значение интеграла (квадратурная формула прямоугольника);

- теоретическая погрешность формулы прямоугольника.

Из последней формулы получаем оценку абсолютной погрешности формулы прямоугольника:

.

. Используем два узла: .

и линейное приближение интерполяции:

,

. Отсюда получаем приближенное значение интеграла

-

(9)

Квадратурная фомула (9) называется формулой трапеции.

Дадим геометрическую иллюстрацию формулы (9). На рисунке заштрихована площадь трапеции, определяемая формулой (9).

Погрешность формулы трапеций находим по формуле (5) (попрежнему считаем, что ):

.

(10) (10)

Из формулы (10) следует оценка абсолютной погрешности: .

. (Параболическая интерполяция). Определяем узлы: , .

Интерполяционный полином Ньютона второго порядка имеет вид

, .

Вычисляемм приближенное значение интеграла:

.

Таким образом, квадратурная формула второго порядка имеет вид

-

(11) (11)

Формула (11) носит название - формула Симпсона.

Погрешность квадратурной формулы Симпсона приведем без вывода:

.

(12) (12)

Из (12) получаем оценку абсолютной погрешности

.

Формулы (5), (10) и (12) для погрешности квадратурных формул носят теоретический характер. В частности, они позволяют выяснить, какова алгебраическая степень точности данной квадратурной формулы.

Определение. Говорят, что данная квадратурная формула имеет алгебраическую степень точности s, если она точна для многочленов степени равной или меньшей s.

Из определения следует, что квадратурные формулы прямоугольников и трапеций точны для многочленов степени s=1 (т.к. для такого многочлена и за счет производной). – (См. формулы (5) и (10)).

Подобным образом убеждаемся, что формула Симпсона (11) имеет алгебраическую степень точности s=3 (следует из вида в формуле (12)). Но как видно из тех же формул для и , точность определяется не только производной, но и шагом интерполяции h.

Пример 1. Пусть и такова, что первые 4 производные ограничены в совокупности, т.е . Во сколько раз формула Симпсона точнее формулы трапеций?

Для формулы трапеций имеем: ;

Соответствующие значения для формулы Симпсона: . Из этих соотношений получаем, что в данном случае формула Симпсона точнее формулы трапеций в 60 раз